Принцесса или тигр? - [49]
Можно подойти к решению этой задачи и по-другому. Из решения задачи 5 мы знаем, что существуют числа Z и W, при которых Z порождает NW, a W порождает MZ (а именно числа Z = 32N2M3 и W = 2M32N2M3). Тогда, согласно утверждению 1 из предыдущей главы, число MZ порождает M(NW), a число NW порождает N(MZ). Поэтому если мы обозначим MZ через X, a NW через Y, то сразу получим, что число X порождает М(Y), а число Y порождает N(X). Таким образом, мы получаем то же самое решение: X = M32N2M3 и Y = N2M32N2M3.
7. Здесь нам необходимо найти такое число X, которое порождало бы число М(AN2BX); согласно второму принципу Крейга, таким числом X является число M32AN2BM3. Возьмем N2BX в качестве Y; тогда число X порождает М(AY), а число Y (которое есть N2BX), очевидно, порождает N(BX). Итак, общее решение задачи (или, по крайней мере, одно из возможных общих решений) имеет вид: X = M32AN2BM3, Y = N2BM32AN2BM3. Для конкретного частного случая положим M = 5, N = 4, А = 7 и В = 89.
8. Согласно второму принципу Крейга, существует некоторое число X, которое порождает М(2ВХ), а именно X = М322ВМЗ. Положим теперь Y = 2ВХ. Тогда X порождает М(Y), а Y порождает BX. Для конкретного частного случая примем M = 3 и В = 78; при этом решение будет иметь вид: X = 33227833, Y = 27833227833.
9. а) Возьмем некоторое число X, которое порождает M(AN2X), и обозначим через Y число N2X. (Мы можем взять X равным M32AN23, a Y = N2M32AN23.) Тогда X порождает М(AY), а Y порождает N(X).
б) Теперь возьмем X, которое порождает М(А2ВХ), и обозначим через Y число 2ВХ. (Итак, в этом случае решение имеет вид: X = М32А2ВЗ, Y = 2ВМ32А2ВЗ.)
в) Если число X порождает М(Y), а Y = 2X, то мы сразу имеем решение задачи; поэтому положим X = М322МЗ, Y = 2М322МЗ.
г) Если X порождает М(AY), а Y = 2X, то мы сразу получаем требуемое решение; поэтому положим X = М32А2МЗ и Y = 2М32А2МЗ.
10. Согласно второму принципу Крейга, существует некое число X, которое порождает M(N2P2X), a именно X = M32N2P2M3. Положим Y = N2P2X, тогда число X порождает М(Y). Пусть теперь Z = P2X, тогда Y = N2Z; при этом число Y порождает N(Z), а число Z порождает P(X). Таким образом, в явном виде решение будет таким: X = M32N2P2M3, Y = N2P2M32N2P2M3, Z = P2M32N2P2M3.
Для частного случая это решение имеет вид: X = 432523243, Y = 5232432523243, Z = 32432523243.
Читатель сам может легко убедиться, что действительно X порождает обращение Y, Y порождает повторение Z, a Z порождает ассоциат X.
Кстати говоря, для любых трех чисел А, В и С мы всегда можем найти такие числа U, V и W, при которых U порождает AV, V порождает BW, a W порождает CU. Для этого надо просто взять такое число U, которое порождало бы число А2В2СU (если же мы воспользуемся вторым принципом Крейга, то получим U = 32A2B2C3). Положим теперь V = 2B2CU и W = 2CU. Тогда число U будет порождать AV, число V будет порождать BW, а число W будет порождать CU. Наконец, если теперь принять А, В и С за операционные числа и положить X = AV, Y = BW и Z = CU, то мы получим, что число X порождает A(Y), число Y порождает B(Z), а число Z порождает С(X). Таким образом, мы нашли еще один способ решения данной задачи.
12. Остановимся, попробуем обобщить!
Два дня спустя полицейское начальство из Скотланд-Ярда внезапно и совершенно неожиданно для Крейга срочно откомандировало его в Норвегию для расследования, хотя и интересного, но нас не касающегося. Поэтому я воспользуюсь отсутствием Крейга, чтобы поделиться с вами кое-какими собственными соображениями по поводу числовых машин Мак-Каллоха. Те же читатели, которым не терпится узнать решение загадки сейфа из Монте-Карло, могут отложить чтение этой главы на потом.
Математики обожают обобщать! Сплошь и рядом случается так: некий математик по имени X доказывает новую теорему и публикует доказательство в научном журнале. Потом проходит полгода и появляется другой математик, Y, который вдруг заявляет: «Ну ладно, неплохую теоремку доказал этот X, однако я могу доказать гораздо более общий случай!» И тут же печатает статью под названием «Об одном обобщении теоремы X-а». Или же Y оказывается похитрее и поступает следующим образом: сначала он втайне обобщает теорему, доказанную X-м, а потом исследует какой-нибудь частный случай своего обобщения. Этот частный случай по внешнему виду обычно настолько отличается от исходной теоремы, предложенной X-м, что Y вполне может опубликовать полученный результат в качестве новой, оригинальной теоремы. Тут на сцене, естественно, появляется третий математик по имени Z: этого Z никак не оставляет чувство, что где-то теоремы X-а и Y-a в чем-то важном очень сходны. Он начинает напряженно работать и… обнаруживает некий общий принцип. Z тут же публикует работу, в которой формулирует и доказывает этот новый общий принцип, а в заключение добавляет: «Теоремы, предложенные X-м и Y-м, вполне могут рассматриваться как частные случаи нашего общего принципа, поскольку…»
