Принцесса или тигр? - [48]
а) X порождает М(АY) а Y порождает N(X);
б) X порождает М(АY) а Y порождает BX;
в) X порождает M(Y), а Y порождает X;
г) X порождает M(AY), а Y порождает X.
Попробуйте доказать эти утверждения.
10. Триплеты и так далее.
— Ну, теперь-то, мне кажется, мы перебрали уже все возможные варианты, — сказал Крейг.
— Да нет, — ответил Фергюссон. — То, что я вам показывал до сих пор, — это еще только начало. А знаете ли вы, например, что существуют три числа X, Y и Z, такие, что число X порождает обращение Y, число Y порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?
— Неужели? — удивился Мак-Каллох.
— Именно так, — подтвердил Фергюссон. — Более того, если заданы три произвольных операционных числа M, N и P, то должны существовать такие числа X, Y и Z, при которых X порождает M(Y), Y порождает N(Z), a Z порождает P(X).
Не сумеете ли вы, читатель, доказать это утверждение? И в частности, каковы будут эти числа X, Y и Z, если известно, что число X порождает обращение Y, число Y порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?
После того как Крейг и Мак-Каллох решили и эту задачу, Фергюссон сказал:
— Конечно, тут тоже возможны самые разные варианты этого «тройного» закона. Например, если заданы три любых операционных числа M, N и P, а также три произвольных числа А, В и С, то существуют такие числа X, Y и Z, при которых число X порождает M(AY), число Y порождает N(BZ), а число Z порождает P(СХ). Это справедливо и в том случае, если взять не три числа А, В, С, а любые два из них или даже одно.[5] Так, мы можем найти такие числа X, Y и Z, при которых X порождает АY, Y порождает M(Z), a Z порождает N(BX). Возможны, естественно, и всякие другие варианты — вы вполне можете заняться ими на досуге.
— Кроме того, — продолжал он, — та же идея действует и тогда, когда мы используем 4 операционных числа или даже более. Например, мы можем найти числа X, Y, Z и W, при которых число X порождает 78Y, число Y порождает повторение Z, число Z порождает обращение W, а число W порождает ассоциат 62X. Возможности практически бесконечны, причем их удивительное многообразие обусловлено всего лишь правилами 1 и 2.
Решения
1. Одно из решений состоит в том, чтобы принять X = 4325243 и Y = 524325243. Поскольку число 25243 порождает число 5243, то число 325243 порождает ассоциат 5243, или число 524325243, которое и есть Y.
Далее, так как число 325243 порождает Y, то число 4325243 порождает обращение Y, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение Y. Кроме того. Y, очевидно, порождает повторение X (потому что Y — это есть число 52X, а поскольку число 2X порождает X, то число 52X будет порождать повторение X). Итак, X порождает обращение Y, а Y порождает повторение X.
2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32A3), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2X. Число же 2X в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.
3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 27X. Тогда, положив Y = 27X, мы получим, что число X порождает Y, а число Y порождает 7X. Такое число X он тоже нашел — это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: X = 32273, Y = 2732273.
То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если X = 322АЗ, а Y = 2A322АЗ, то число X будет порождать Y, а число Y будет порождать АХ.
4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число Y, которое порождает 72Y. Теперь, если обозначить через X число 2Y, то мы получаем, что число X порождает Y, а число Y порождает 7X. При этом нам уже известно, как найти такое число Y — надо взять Y = 32723. Итак, решение Мак-Каллоха имеет вид: X = 232723, Y = 32723.
5. Единственное, что нам нужно — это найти такое число X, которое порождало бы число А2ВХ. Тогда, если мы положим Y = 2ВХ, то будем иметь, что число X порождает АY, а число Y порождает BX. Таким числом X, которое порождает А2ВХ, является число 32А2ВЗ. Стало быть, решение задачи выглядит так: X = 32A2ВЗ, Y = 2B32A2ВЗ. (В частном случае А = 7, В = 8 и решением будет X = 327283, Y = 28327283.)
6. Сначала попробуем решить эту задачу с помощью второго принципа Крейга, который, как мы помним, гласит, что для любого операционного числа M и для произвольного числа А существует некоторое число X (а именно число М32АМЗ), которое порождает М(АХ). Возьмем теперь два любых операционных числа M и N. Тогда, согласно этому принципу (если взять в качестве А число N2), найдется некое число X (а именно число M32N2M3), которое порождает число
