Паскаль - [99]

И Слюз был прав. Приемы и обобщения анализа бесконечно малых, которые Паскаль использовал в своих трудах по циклоиде, вели к изобретению дифференциального и интегрального исчисления.

Оно открыло целую эпоху в развитии естествознания и стало применяться не только во всех математических дисциплинах, но и повлияло на создание ряда новых разделов математики. Благодаря дифференциальному и интегральному исчислению математика стала гораздо шире проникать в область естественных наук и техники. Таким образом, в истории науки XVII века открытие этого исчисления было важнейшим событием, которое возникло как раз на основе методов исчисления бесконечно малых.

2

Своеобразие и эволюцию новых методов можно проследить, например, по исследованиям Кеплера и Кавальери. Так, Кеплер при определении целесообразной формы... винных бочек, когда при наименьшей затрате материала требуется получить наибольшую вместимость, разбивал идеальную поверхность изучаемого тела на элементарные части, суммировал их и тем самым непосредственно вводил бесконечно малые величины. Он применял способы исчисления бесконечно малых и в астрономических исследованиях.

Если использование этих способов у Кеплера ограничено конкретными задачами, возникавшими в ходе его научной деятельности, то в поисках более общих и систематизированных принципов образования и измерения поверхностей и тел Кавальери ввел и исследовал абстрактное понятие «неделимых». (Подобно Кавальери и независимо от него стал применять неделимые и Роберваль.) Неделимые у Кавальери — это элементы, из которых состоит площадь или объем того или иного геометрического объекта и размерность которых на единицу меньше размерности рассматриваемого объекта. Так, точка является неделимым для линии, прямая — для плоскости и т. д. При этом, например, площадь какой-то плоской фигуры определялась через уже известную площадь другой фигуры в результате сравнения отрезков прямых линий (неделимых), которыми эти фигуры покрывались.

Торричелли, отмечая особое воздействие метода неделимых на развитие математики, писал: «Несомненно, что геометрия Кавальери есть удивительное по своей экономии средство для нахождения теорем и дает возможность разрешить огромное число, казалось бы, неразрешимых теорем краткими, прямыми, наглядными доказательствами, что невозможно сделать по методу древних. Это — истинно царская дорога среди зарослей математического терновника... Метод Кавальери является действительно научным способом доказательства, всегда идущим путем прямым и свойственным самой природе. Жаль мне древней геометрии, что она либо не знала, либо не хотела признавать учения о неделимых...»

Однако, по замечанию советского историка математики Л. С. Фреймана, метод Кавальери страдал существенными логическими противоречиями: «Одним из таких противоречий является то, что неделимое (линия) имеет на одно измерение меньше числа измерений у площади, а совокупность неделимых уже имеет столько же измерений, сколько площадь!» Действительно, при наложении, скажем, друг на друга плоскостей, толщина которых равна нулю, нельзя получить какой-то объем определенной толщины — суммирование нулей дает в итоге нулевой результат.

В своих исследованиях Паскаль преодолел подобные противоречия: он рассматривал неделимые как однородные с измеряемым объектом бесконечно малые величины, из которых и составлялись интегральные суммы. Для демонстрации приемов Паскаля приведем простой пример, упоминаемый французским исследователем его научного творчества Умбертом. Предположим, что необходимо определить площадь криволинейной трапеции АВСД, составленной прямой AB, перпендикулярами к ней АС и ВД и кривой линией СД (см. рис. 4). На оси AB берется ряд близко расположенных друг к другу точек A1, A2, A3..., из которых проводятся перпендикуляры к AB до пересечения с СД в точках C1, С2, С3... Из этих точек проводятся отрезки CC'1, С1С'2, С2С'3..., параллельные AB. Если подсчитать и просуммировать площади прямоугольников ACC'1A1, A1C1C'2A2, А2С2С'3А3..., то получится приближенное значение искомой площади, отличаю-

щееся от нее на сумму площадей криволинейных треугольников CC1C'1, С1С2С'2, С2С3С'3... (заштрихованных на чертеже). Если же предположить, что точки разделения A1, A2, A3... на AB будут бесконечно увеличиваться в количестве и, следовательно, все более сближаться друг с другом, то получаемые бесконечно узкие прямоугольники и будут неделимыми Паскаля (маленькие заштрихованные треугольники в данном случае уменьшаются и как бы стремятся «раствориться» в кривой СД).

Но Паскаль, пишет Умберт, не удовлетворяется простым интуитивным решением: «Он доказывает строгими методами, что сумма площадей этих маленьких треугольников совсем не влияет на общий результат и ею можно пренебречь, ибо она бесконечно мала по сравнению с суммой площадей прямоугольников. Следовательно, для определения искомой поверхности следует подсчитать сумму площадей этих прямоугольников. Каждая из них в отдельности является бесконечно малой величиной (так как основание каждого прямоугольника бесконечно мало), но число прямоугольников бесконечно велико. Таким образом, речь идет о подсчете сумм бесконечно большого количества бесконечно малых величин, то есть о том, что современные математики называют интегрированием. Интегральное исчисление, по крайней мере в своем начале, было искусством подсчета этих сумм и вычисления с их помощью площадей и объемов».