Паскаль - [100]

В работах, связанных с циклоидой, Паскаль сделал шаг вперед по сравнению со своими предшественниками на пути дальнейшего совершенствования и обобщения методов интегрирования. Он преобразовал понятие совокупности Кавальери в понятие суммы. При этом, как пишет известный немецкий историк математики Вилейтнер, Паскаль проводил отчетливое различие между неделимыми и элементарными частями и «существенно более общим образом толковал понятие равенства фигур, чем это позволяло употребительное до того определение Евклида. Именно он считал равными две фигуры, если различие между ними меньше любой данной величины. Паскаль с полной ясностью проник в существо интеграционного процесса, заметив, что всякое интегрирование приводится к определению некоторых арифметических сумм. Паскаль подошел к определению интеграла ближе всех своих современников».

Применяя метод неделимых к различным величинам, преобразуя одни виды суммирования в другие, Паскаль в геометрической форме получил фундаментальные результаты, относящиеся к так называемым криволинейным в двойным интегралам, с помощью наглядных конкретных примеров и ясных доказательств, искусного использования приемов современной ему и античной математики упорядочил многие интеграционные проблемы, освободив их от нечетких и приблизительных решений. До прямого открытия интегрального исчисления Паскалю оставалось сделать лишь шаг — определить формальные операции интегрирования и дать его особый вычислительный алгоритм. Но Паскаль этого шага не сделал. Как и прежде, помешали его «геометризм» и антиалгебраическая настроенность, использование прямых конкретных методов. Поэтому славу первооткрывателей интегрального и дифференциального исчисления делят между собой Ньютон и Лейбниц, хотя некоторые исследователи и причисляют Паскаля к ним, исходя из возможности легкого перевода исключительно геометрических рассуждений Блеза на абстрактный язык анализа бесконечно малых.

О возможности такого перевода и извлечения алгоритма из математических трудов Паскаля свидетельствует и признание Лейбница, которое относится к «Трактату о синусах четверти круга» Блеза, связанному с исследованием циклоиды. В 1673 году по совету Гюйгенса немецкий философ познакомился с этим трактатом и, как он сам замечает, был внезапно озарен новым светом. Особое внимание Лейбница привлек чертеж с бесконечно малым треугольником, используемым Блезом для преобразования интегральных сумм. Лейбниц назвал этот треугольник характеристическим, увидев в нем один из основных элементов дифференциального исчисления, и с его помощью подошел к формулировке самих принципов этого исчисления.

Пусть нам дана, пишет Паскаль в лемме «Трактата...», четверть круга ABC (см. рис. 5), где радиус AB рассмат-

ривается как ось, а радиус АС — как основание. Возьмем на дуге окружности произвольную точку Д, из которой на основание проводится линия синуса ДI и радиус АД и через которую проходит также касательная ЕЕ'. Из точек E и E' на основание АС опускаются перпендикуляры ER и E'R'. Затем Паскаль строит треугольник ЕКЕ' (данный треугольник Лейбниц и назвал характеристическим), который подобен треугольнику ДIА. Это подобие дает ему пропорцию:

AD/DI= EE1/ЕК,

в которой отношение бесконечно малых величин (EE1/EK) выражено отношением конечных величин AD/DI, и равенство:

ДIxЕЕ' = АДxЕК, илиДIxЕЕ' = АДxRR'.

Если же разделить какую-либо дугу четверти круга на малые части и заменить отрезки касательных эквивалентными им при переходе к пределу малыми дугами, то при интегрировании обеих частей этого равенства получается теорема, которая в «Трактате...» Паскаля звучит так: «Сумма синусов какой-либо дуги четверти круга равна отрезку основания между крайними синусами, умноженному на радиус».

«Лейбниц, — пишет советский историк математики И. Б. Погребысский, рассматривая характеристический треугольник Паскаля, — сразу заметил, что это построение и связанный с ним переход от отношения бесконечно малых величин к отношению величин конечных справедливы для любой кривой. Надо только рассматривать АД не как радиус, а как отрезок нормали к кривой, проведенный до пересечения с основанием (осью абсцисс). Это было важным шагом на пути к созданию дифференциального исчисления: характеристический треугольник при переходе к пределу, когда его катеты (^ х и ^ у) становятся бесконечно малыми (dx и dy), остается все время подобным конечному треугольнику, что позволяет уверенно действовать с отношением dy/dx. И Лейбница удивляло, как это Паскаль не заметил общности своего построения, «словно у него на глазах была повязка».

О естественности перевода результатов Паскаля при решении задач в связи с циклоидой на терминологию специальных понятий и абстрактной символики интегрального исчисления, а также о четкости его мышления и ясности языка можно судить и по высказыванию известных французских математиков, выступивших под псевдонимом Н. Бурбаки: «Валлис в 1655 году и Паскаль в 1658 году составили каждый для своего употребления языки алгебраического характера, в которых, не записывая ни единой формулы, они дают формулировки, которые можно немедленно, как только будет понят их механизм, записать в формулах интегрального исчисления. Язык Паскаля особенно ясен и точен; и если не всегда понятно, почему он отказался от применения алгебраических обозначений не только Декарта, но и Виета, все же нельзя не восхищаться его мастерством, которое могло проявиться лишь на основе совершенного владения языком».