Объективная диалектика - [54]

В математике имеется ряд попыток дать определение величины аксиоматическим путем[230]. Анализ некоторых таких попыток показывает, что величина характеризуется как находящаяся в отношениях равенства и неравенства с другими величинами (и это отношение может быть выражено числом), а также аддитивностью (величина некоторого целого равна сумме величин всех его составляющих) и, наконец, непрерывностью. Понятийный аппарат теории измерений также необходимым образом включает указанные признаки. По-видимому, эти признаки необходимо включить в определение величины.

Понятия величины и числа имеют ряд общих признаков. Для них необходимым моментом является различие в объекте. И число, и величина характеризуются отношениями равенства и неравенства, своеобразной устойчивостью в соотношении друг с другом (свидетельством чему применительно к величине является аддитивность). Но кроме общих признаков величина и число имеют и различные признаки. Различие величины и числа состоит по крайней мере в том, что число дискретно, а величина непрерывна. Философское понимание непрерывности и дискретности сводится к следующему. Еще Гегель указывал: «Непрерывность есть… простое, равное себе соотношение с собой, не прерываемое никакой границей и никаким исключением»[231]. Если непрерывность понимать как отсутствие границ, то дискретностью тогда нужно назвать ситуацию, которая включает в себя наличие границы. Но в каком смысле здесь следует говорить о границе?

В. И. Свидерский писал, что «понятие непрерывности означает не что иное, как саморавенство в изменении, т. е. сохранение данного качества в ходе его определенного количественного изменения… Прерывность же существования вещи, явления, процесса есть изменение качественного состояния»[232]. Изменение некоторого конкретного числа означает, по сути дела, выход за «границу» данного числа, переход к другому числу. Здесь имеет место дискретность. При изменении величины мы остаемся в «границах» данной величины, ее данной определенности, т. е. имеем дело с непрерывностью. В математике дается дальнейшая конкретизация понятиям непрерывности и дискретности. Но здесь мы попадаем в область, пограничную между философской категорией количества и математическими учениями о числе и величине. Дальнейшая конкретизация этих понятий, вероятно, перевела бы нас с философского на математический уровень.

Количество в целом представляет собой единство моментов числа и величины. История науки и практики показывает, что в реальных объектах нет ни «чистой» величины, которую нельзя было бы представить в виде какой-то числовой характеристики, ни «чистого» числа, которое не было бы связано с какой-нибудь величиной или с каким-нибудь отношением величин.

Непрерывность и дискретность как существенные характеристики величины и числа обнаруживают свое глубокое внутреннее единство. Непрерывная величина представляет собой определенность, имеющую границу, которая отличает данную величину от других величин. Следовательно, каждая величина в отношении к другой величине обнаруживает момент дискретности. Дискретное число в свою очередь включает в себя единицу, которая представляет собой нечто целостное, не имеющее в себе внутренних границ. Следовательно, число содержит момент непрерывности.

Антитеза дискретного и непрерывного «снимается» в понятии меры точечного множества. Точечное множество, составляющее континуум, характеризуется как прерывностью (поскольку оно «составлено» из точек), так и непрерывностью и может быть измерено (поскольку именно непрерывность может быть измерена). Оказывается возможным определить понятие непрерывности в теоретико-множественных терминах. Понятие меры точечного множества является своеобразным синтезом дискретного и непрерывного количества.

Содержание понятий числа и величины еще недостаточно конкретизировано. Лишь в самом первом приближении можно указать на их специфические моменты. Нуждается в философском исследовании проблема соотношения непрерывности и дискретности в количестве. Не исключено, что последующие исследования существенно обогатят содержание философской категории количества. Можно, например, предположить существование величин, характеризующихся «переменной» аддитивностью, количественных отношений более общих, чем отношения равенства и неравенства, и т. п. На уровне сегодняшней практики достаточно обосновано понимание атрибута количества как единства числа и величины, некоторые признаки которых указывались выше.

Некоторые аспекты содержания категории меры были подмечены уже в древней философии. Так, пифагорейцы говорили о «гармонии мира», Алкмеон определял здоровье как «изономию» (соразмерность) присущих телу человека противоположностей. Демокрит использовал понятие меры в этике[233]. Аристотель указывал, что для любой величины имеется определенная мера, перейдя которую величина утратит свою «способность». Широко обсуждались в античной философии софизмы «куча» и «лысый», в которых ставилась проблема связи количественных и качественных изменений.

Указания на отдельные моменты категории меры встречаются и в средневековой философии. Так, Аль-Кинди говорил о науке гармонии, изучающей соразмерное и несоразмерное; в письмах исмаилитов содержится мысль о том, что качественные изменения вещества можно объяснить количественно. Р. Бэкон писал, что «изменения в природных вещах не происходят без какого-либо увеличения или уменьшения»