Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь - [88]

Модель SIR иллюстрирует, как важно воздержаться от прихода на работу в нездоровом состоянии. Оставаясь дома до полного выздоровления, вы эффективно переводите себя из категории инфицированных в категорию выбывших. Модель демонстрирует, что такое простое действие может уменьшить масштаб эпидемии, снижая возможность передачи инфекции тем, кто к ней восприимчив. Более того, не пытаясь перенести болезнь «на ногах», вы оставляете себе больше шансов на скорейшее выздоровление. Если бы все, подхватившие инфекционное заболевание, следовали указанной модели, это было бы гораздо полезнее для общества в целом, поскольку пришлось бы закрывать меньше ресторанов, школ и приемных покоев в поликлиниках.

•

Однако главное достоинство модели SIR состоит, пожалуй, в ее не описательных, а прогностических возможностях. Вместо того чтобы постоянно оглядываться на прошлые эпидемии, модель SIR позволила Кермаку и Маккендрику заглянуть в будущее – предсказать взрывную динамику вспышек заболеваний и понять порой загадочные закономерности развития болезней. Они использовали свою модель для решения некоторых из наиболее насущных вопросов в эпидемиологии того времени. Так, острые дебаты вызывал вопрос, что вызывает затухание эпидемии? Неужели болезнь просто заражает все население, а когда инфицированными оказываются все, болезни просто становится некуда распространяться? Или же, возможно, патоген, вызывающий болезнь, с течением времени теряет силу до такой степени, что оказывается более не способен инфицировать здоровых людей?

В своей работе два шотландских ученых смогли авторитетно показать, что ни один из этих исходов не является обязательным. Оценив состояние опытной популяции в конце смоделированной вспышки, они обнаружили, что в ней всегда оставалось несколько восприимчивых особей. Возможно, это напрямую противоречит нашей интуиции (которая подпитывается фильмами и сюжетами СМИ), «подсказывающей», что болезнь умирает, потому что больше не осталось тех, кто мог бы ею заразиться. На деле же, по мере того как инфицированные выздоравливают или умирают, контакты между оставшимися инфицированными и восприимчивыми людьми становится настолько редкими, что у инфицированных не остается шанса заразить кого-либо до того, как они сами перейдут в категорию «выбывших» (переболеют, выработав иммунитет, или умрут). Модель SIR предсказывает, что в конечном счете вспышки угасают из-за уменьшения количества инфицированных, а не от недостатка восприимчивых людей [176].

В небольшом сообществе эпидемиологов-теоретиков 1920-х годов модель SIR Кермака и Маккендрика стала выдающимся достижением. Она подняла изучение развития инфекционных болезней высоко над уровнем прежних, чисто описательных исследований и позволила заглянуть далеко в будущее. Тем не менее предоставленные ею прогностические возможности были ограничены узким фундаментом, на котором строилась модель: многочисленные допущения ограничивали область ее полезных применений весьма специфическими ситуациями. Эти предположения подразумевали постоянную скорость передачи болезни от человека к человеку, мгновенное заражение инфицированных и неизменную численность населения. Хотя в отдельных случаях эти допущения были полезны для описания некоторых болезней, для большинства они не годились.

Так, по иронии судьбы, данные по Бомбейской чуме, которые Кермак и Маккендрик использовали для проверки своей модели, ломают многие из этих предположений. В первую очередь Бомбейская чума не передавалась от человека к человеку, а распространялась крысами, несущими блох, которые, в свою очередь, несли чумную бактерию. Модель также предполагала постоянную скорость передачи инфекции между инфицированными носителями и их восприимчивыми жертвами. Фактически же (как и в случае с вирусным распространением более тривиального вызова с ведром ледяной воды, описанного в первой главе) распространение чумы в Бомбее было подвержено сильному влиянию такого фактора, как сезонность: с января по март число блох и, соответственно, бактерий резко возрастало, что вело к скачкообразному увеличению скорости передачи.

Тем не менее будущие поколения математиков адаптируют фундаментальную модель SIR, ослабляя ее ограничительные допуски и расширяя спектр болезней, понять тайны которых помогла бы математика.

•

Одной из первых адаптаций оригинальной модели SIR было ее приспособление для описания болезней, жертвы которых не приобретают к ним иммунитета. У одного из подобных заболеваний не бывает «выбывших» вовсе, что свойственно некоторым заболеваниям, передающимся половым путем, – таким, как гонорея. Переболев гонореей, человек может заразиться ею снова. А поскольку от симптомов гонореи никто не умирает, и смерть не обеспечивает «выбывание» инфицированных. Такие модели обычно называют SIS, воспроизводя переход состояния человека в процессе развития заболевания от восприимчивого к инфицированному и обратно. Поскольку популяция восприимчивых людей никогда не исчерпывается, восстанавливаясь по мере выздоровления заразившихся, модель SIS предсказывает, что болезни могут стать самоподдерживающимися, или эндемическими, даже внутри изолированного сообщества, в котором не происходит рождений и смертей. В Англии эндемический статус гонореи способствовал тому, что она стала второй по распространенности инфекцией, передаваемой половым путем: в 2017 году было зарегистрировано более 44 тысяч случаев.