Математика в занимательных рассказах - [27]

Мы до сих пор не назвали имени изобретателя:

Самуэль (Сэм) Лойд. Он родился в городе Филадельфии. В шахматных кругах он приобрел широкую известность как составитель остроумных задач; кроме того, им придумано множество иных головоломок. Мы воспроизводим здесь портрет

этого изобретательного человека. Любопытно, что ему не удалось получить в Америке патента на придуманную им игру. Хотя Лойд не мог предусмотреть чудовищного успеха своего изобретения и совершенно не ожидал его, он подал заявление о патенте. Согласно инструкции, он должен был представить «рабочую модель» для исполнения пробной партии; он предложил чиновнику патентного бюро неразрешимую задачу, и когда последний осведомился, разрешима ли она, изобретатель должен был ответить: «Нет, это математически невозможно». — «В таком случае, — последовало возражение, — раз задача не разрешима, то не может быть и рабочей модели, а без модели нет и патента». Странным образом Лойд удовлетворился этой мнимой логикой и этой удивительной резолюцией, — но, вероятно, был бы более настойчив, если бы хоть отчасти предвидел неслыханный успех своего изобретения.

II

Изобретенная в Америке, игра эта получила там и первую свою математическую теорию — в трудах американских математиков Вулсей Джонсона и Вильяма Сторн. Впрочем, независимо от них и вскоре вслед за ними развил основания этой теории также ряд других математиков в различных странах Европы.

Сейчас мы набросаем очерк этой теории, по крайней мере, в главных ее чертах. Задача игры состоит обыкновенно в том, чтобы посредством последовательных передвижений, допускаемых наличием одного свободного поля, перевести любое начальное расположение 15 шашек в нормальное, т. е. в такое, при котором шашки идут в порядке своих чисел: в верхнем левом углу 1, направо — 2, затем 3, потом в верхнем правом углу 4; в следующем ряду слева направо: 5, 6, 7, 8, и т. д. Такое нормальное конечное расположение мы даем здесь на чертеже (схема I).

Вообразите теперь любое начальное расположение шашек, т. е. такое, при котором 15 шашек размещены в пестром беспорядке. Нетрудно убедиться, что рядом передвижений всегда можно привести шашку № 1 на место, занимаемое ею на чертеже. Точно так же возможно, не трогая шашки 1, привести шашку 2 на место рядом с ней, которое она занимает на схеме I.

Схема I

Затем, не трогая шашек 1 и 2, можно поместить шашки 3 и 4 на свои нормальные места: если они случайно не находятся в двух последних вертикальных рядах, то легко привести их в эту область и затем рядом передвижений достичь желаемого результата. Теперь весь верхний ряд 1, 2, 3, 4 приведен в порядок, и при дальнейших манипуляциях с шашками мы трогать этого ряда не будем. Таким же путем стараемся мы привести в порядок и вторую строку: 5, 6, 7, 8; легко убедиться, что это всегда достижимо. Далее, на пространстве двух последних рядов необходимо привести в нормальное положение (схема I) шашки 9 и 13: это тоже всегда возможно, в чем нетрудно удостовериться. Из всех приведенных в порядок шашек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 ни одной не перемещают в дальнейшем; остается небольшой участок в 6 полей, в котором одно свободно, а пять остальных заняты шашками 10, 11, 12, 14, 15 в произвольном порядке. Легко, однако, убедиться, что в пределах этого шестиместного участка всегда можно привести на нормальные места шашки 10, 11, 12, и когда это достигнуто, то в последнем ряду шашки 14 и 15 окажутся размещенными либо в нормальном порядке, либо в обратном (схема II). Таким путем, — который здесь был лишь намечен и который читатели легко могут испытать и проверить на деле, — мы приходим к следующему результату.

Любое начальное положение может быть приведено либо к нормальному схемы I, либо к конечному схемы II.

Схема II

Это значительно упрощает задачу: все необозримое разнообразие положений шашек сведено к двум типичным схемам I или II, так что приходится иметь дело лишь с этими двумя. Если некоторое расположение, которое для краткости обозначим буквою S, может быть преобразовано в положение схемы I, то, очевидно, возможно и обратное — перевести положение схемы I в положение S. Ведь все передвижения шашек (все «ходы», как будем говорить кратко), несомненно, обратимы: если, например, в схеме I мы можем шашку 4 поместить на свободное поле, то можно ход этот тотчас взять обратно противоположным движением. И если расположение переводится в расположение не схемы I, а схемы II, то соответственно этому расположение схемы II может быть переведено в расположение S.

Итак, мы имеем две серии расположений, таких, что положения одной серии могут быть переведены в «нормальное» I, а другой серии — в положение II. И наоборот, мы уже видели, что из «нормального» расположения можно получить любое положение первой серии, а из расположения схемы II — любое положение второй серии. Наконец, два любых расположения, принадлежащие к одной и той же серии, могут быть взаимно переводимы друг в друга: если оба относятся, например, к первой серии, то это значит, что одно из них может быть переведено в положение схемы I, а положение схемы I переводится в другое из данных двух положений; короче — одно данное положение переводимо в другое, и наоборот.