Математика. Поиск истины. - [54]
Ньютон начал свое исследование с рассмотрения задачи о теле, брошенном в горизонтальном направлении с вершины горы. Эту задачу решил еще Галилей, который показал, что такое тело при движении описывает параболу. Чем выше начальная скорость, тем более «широкой» и пологой становится парабола и тем дальше улетает тело. Но Галилей рассматривал тела, бросаемые не слишком далеко, что позволяло ему пренебречь кривизной Земли. Ньютону первому пришла в голову мысль рассмотреть полет тела, брошенного в горизонтальном направлении со скоростью, при которой становилась существенной кривизна Земли (тело описывает траекторию VD; рис. 26).
Рис. 26.
Не улетит ли такое тело в космическое пространство и не покинет ли Землю навсегда? Нет, ибо Земля продолжает его притягивать. В каком направлении действует на тело земное тяготение? Галилей всегда считал, что сила тяжести действует на тела вниз по вертикали, но для тела, движущегося по околоземной орбите, «вертикально вниз» означает «к центру Земли». Итак, если тело бросить с вершины горы, то оно будет притягиваться к Земле. Если увеличить начальную скорость, то тело улетит несколько дальше, описав траекторию VE, а при достаточно большой начальной скорости может даже стать искусственным спутником Земли и обращаться вокруг нее (если бы не было сопротивления воздуха) неограниченно долго. Вот что пишет об этом Ньютон в своих «Началах»:
Подобно тому как брошенное тело может быть отклонено силою тяжести так, чтобы описывать орбиту вокруг Земли, так и Луна или силою тяжести, или же иною силою, которая влечет ее к Земле, может быть отклоняема от прямолинейного пути и вынуждена обращаться по своей орбите; без такой силы Луна не могла бы удерживаться на своей орбите.
([19], с. 27.)
Но коль скоро Земля силой своего тяготения может заставить Луну обращаться вокруг нее, то и Солнце силой своего тяготения могло бы заставить планеты обращаться вокруг него. Поэтому у Ньютона были некоторые основания надеяться на успех дерзкого замысла: доказать, что та же самая сила, которая притягивает тела к Земле, заставляет Луну обращаться вокруг Земли и планеты вокруг Солнца.
Все рассуждения Ньютона, о которых мы упоминали до сих пор, были чисто качественными и умозрительными. И чтобы сделать решительный шаг вперед, необходимо было придать им количественный характер. Продолжая рассуждать о действующей на Луну силе земного притяжения, Ньютон пишет дальше:
Если бы эта сила была меньше соответствующей этой орбите, то отклоняла бы Луну от прямолинейного пути недостаточно, а если больше, то она отклоняла бы ее больше, чем следует, и приблизила бы ее от орбиты к Земле. Следовательно, надо, чтобы эта сила была в точности надлежащей величины. Дело математиков найти такую силу, которая в точности удерживала бы заданное тело в движении по заданной орбите с данной скоростью, и наоборот, найти тот криволинейный путь, на который заданною силою будет отклонено тело, вышедшее из заданного места с заданной скоростью.
([19], с. 27.)
Рассуждение Ньютона, с помощью которого он показывает, что одна и та же формула применима и к земным, и к небесным телам, ныне считается классическим. Мы приведем здесь его в несколько упрощенном виде, который тем не менее правильно передает самую суть. Орбиту Луны приближенно можно считать окружностью. Так как Луна (рис. 27) движется не по прямой MP, ее, очевидно, притягивает к Земле какая-то сила. Если MP — расстояние, которое Луна проходит за 1 с в отсутствие силы тяготения, то РМ' — расстояние, на которое Луна смещается к Земле за ту же секунду под действием силы тяготения. Ньютон принял расстояние РМ' за меру силы, с которой Земля притягивает Луну. Соответствующая величина для тела, находящегося вблизи поверхности Земли, составляет примерно 9,8 м; если тело выпустить из рук, то под действием земного тяготения оно за первую секунду пройдет расстояние, равное 9,8 м. Ньютон вознамерился показать, что одна и та же сила заставляет Луну проходить за 1 с расстояние РМ' а тело вблизи поверхности Земли пролетать в свободном падении 9,8 м.
Рис. 27.
Приближенные оценки привели его к мысли, что сила притяжения между телами зависит от квадрата расстояния между центрами тел и что с увеличением расстояния эта сила убывает. Расстояние между центром Луны и центром Земли примерно в 60 раз больше радиуса Земли. Следовательно, на Луну Земля действует в 60>2 раз слабее, чем на тело, находящееся вблизи земной поверхности, т.е. сила действия Земли на Луну составляет 1/(60)>2 от той силы, с которой она притягивает земные тела. Но это означает, что под действием земного притяжения Луна должна приближаться к Земле за 1 с на расстояние, равное 9,8/(60)>2 = 0,0027 м. Произведя некоторые численные тригонометрические расчеты, Ньютон обнаружил, что Луна действительно притягивается Землей силой «в точности надлежащей величины». Тем самым он получил весьма убедительное подтверждение своей гипотезы: все тела в мире притягиваются друг к другу по одному и тому же закону.
Более тщательные исследования Ньютона показали, что сила тяготения, действующая между
