Математика и искусство [заметки]
1
В более распространенной русской транскрипции Инь-Ян теряется графическая симметрия (а значит, отчасти и философия) двух древнекитайских первоначал.
2
Слова "прекрасное" и "красота" мы употребляем в широком смысле как синонимы.
3
Дискурсия (лат. discursus) — рассуждение.
4
Кант безвыездно прожил всю свою долгую жизнь в родном Кенигсберге (ныне г. Калининград), учился в Кенигсбергском университете, затем стал его профессором, читал в нем только курсы философии, эстетики, истории, филологии, но и математики, физики, астрономии, космогонии и даже Фортификации. Всю свою жизнь этот "всеобъемлющий гений" посвятил науке, отказавшись от личной жизни и даже поездок в другие города.
5
За многие века система Птолемея была настолько хорошо разработана, что ею продолжали пользоваться и после Коперника. Ведь система Коперника, до тех пор пока она не подверглась математической обработке и ряду уточнений,имела только мировоззренческое значение.
6
3десь Вольтер (1694-1778) и Жан-Жак Руссо (1712-1778)для Блеика прежде всего не писатели, а философы и ученые-энциклопедисты, просветители.
7
Как стало известно впоследствии, "инженер Полетаев" оказался вымышленным персонажем. Его придумал поэт М. Светлов и для обострения полемики умышленно поставив на самые крайние позиции. Мистификация М. Светлова оказалась удачной.
8
Порфирий приводит любопытный эпизод. Проведуя вегетарианство, Пифагор тем не менее посоветовал самосскому атлету Евримену ежедневно питаться мясом, а не сыром и смоковами, как это делали остальные спортсмены. Евримен последовал Пифагоровой мудрости — набрался сил и, несмотря на свой малый рост, одержал победу в борьбе на Олимписких играх.
9
Известна легенда, рассказывающая, что однажды, увидев, как били собаку, Пифагор сказал: "Перестаньте ее бить, в этой собаке живет душа моего друга: я узнал его по голосу".
10
Некоторые отголоски пифагорейской числовой мистики мы встречаем и в наши дни: например, обычай дарить нечетное число цветов (четное число у пифагорейцев считалось несчастливым).
11
Вот это доказательство. Допустим противное, т. е пусть
12
В теории музыки понятия интервала и интервального коэффициента строго не разграничены. Следуя традиции, мы часто для краткости будем называть интервальный коэффициент интервалом.
13
Характер звучания лада, конечно, не определяется столь грубо и однозначно. Вопрос этот очень деликатный, и о нем мы еще поговорим в конце главы.
14
Судьба Алексея Федоровича Лосева счастлива и трагична. Счастлива, потому что до последнего дня своей 95-летней жизни Лосев сохранил поразительную работоспособность и успел завершить главный труд — восьмитомную "Историю античной эстетики". Трагична, потому что другие восемь томов его сочинений, написанных на полвека ранее (1927 — 1930), были преданы анафеме, а сам автор, будучи незаконно репрессирован, продолжил свои философские изыскания на строительстве Беломорско-Балтийского канала, откуда он писал: "Я закован в цепи, когда в душе бурлят непочатые и неистощимые силы". Одна из этих работ Лосева — "Музыка как предмет логики" — могла бы служить путеводной звездой к этой книге. И все-таки судьба А. Ф. Лосева счастлива, ибо рукописи не горят. Сегодня огромное философское наследие А. Ф. Лосева обретает свое второе рождение.
15
Напомним, что остальные три планеты Солнечной системы — Уран, Нептун и Плутон — были открыты лишь в XVIII, XIX и XX веках соответственно.
16
Отсюда пошло выражение "Быть на седьмом небе", обозначающее высшую степень блаженства.
17
В самом деле, сумма плоских углов s при вершине выпуклого многогранника должна быть строго меньше 360°, а число граней при вершине m≥3. Тогда гранями правильного многогранника могут быть только три плоские фигуры: правильные треугольник, четырехугольник (квадрат) и пятиугольник, ибо уже для шестиугольников s = 120°*3 = 360°. Название правильному многограннику дается по общему числу граней М. Таким образом, из равносторонних треугольников можно составить три правильных многогранника при m = 3, 4, 5 (при m = 6 s = 60°*6 = 360°):
1. Тетраэдр (четырехгранник): m = 3, М = 4.
2. Октаэдр (восьмигранник): m = 4, М = 8.
3. Икосаэдр (двадцатигранник): m = 5, М = 20, а из квадратов и правильных пятиугольников — только по одному при m = 3 (при m = 4 s = 90°*4 = 360° — для квадратов и s = 108°*4 = 432° — для пятиугольников).
4. Гексаэдр (шестигранник), или куб: m = 3, М = 6.
5. Додекаэдр (двенадцатигранник): m = 3, М = 12.
В любом выпуклом многограннике числа вершин L, граней М и ребер N связаны формулой Эйлера L + M — N = 2.
18
Пятая сущность - по-латыни квинтэсенция — у средневековых алхимиков ста означать тончайший элемент, составляющий якобы сущность вещей. В настоящее время квинтэссенция — синоним самого главного, иболее существенного.
19
Любопытна история возникновения термина. Это название заимствовано американским физиком М. Гелл-Маном, высказавшим в 1964 г. гипотезу о существовании трех неизвестных частиц, из романа современного английского писателя Дж. Джойса "Поминки по Финегану". Хотя по-немецки "кварк" — это "творог", в романе слово означает нечто таинственное и непонятное. Герою романа снится сон, где чайки кричат: "Три кварка для мастера Марка". Так слово, изобретенное писателем Джойсом, стало едва ли не важнейшим термином современной ядерной физики. Вот они, узы науки и искусства!
20
Заинтересовавшийся читатель может легко воспроизвести эти расчеты. Например, для куба с ребром а имеем R = a√3/2, r = a/2, откуда R/r = √3
21
Из второго закона Кеплера следует, что угловые скорости планет непостоянны и имеют наименьшее значение в афелии и наибольшее — в перигелии.
22
Для педантов уточним, что концертный рояль имеет до 90 клавиш (звуков).
23
В скобках указаны годы окончания строительства. Сравнивая их, остается только восхищаться мастерством древнеримских зодчих. Лишь через тысячу с лишним лет человечество почувствовало в себе силы повторить достижение древнеримских строителей. Точнее, только приблизиться к нему, ибо купол Пантеона диаметром 43 м, видимо, навсегда останется самым большим каменным сводом.
24
Эпюра (от франц. epure — чертеж) — гРафик закона изменения некоторой величины.
25
Полное название трактата Дюрера — "Руководство к измерению при помощи циркуля и линейки в линиях, плоскостях и целых телах, составленное Альбрехтом Дюрером и напечатанное на пользу всем любящим знания с надлежащими рисунками в 1525 году".
26
Первые упоминания о мерной трости имеются в библейских текстах, рассказывающих о строительстве храма царя Соломона и относящихся к X веку до н. э.
27
Хотя Платон в период строительства Парфенона еще не родился, но сохранившееся в его сочинениях учение о пропорциональности восходит к самому Пифагору и было, безусловно, известно Иктину и Калликрату — зодчим Парфенона.
28
Триангулирование и квадрирование — методы геометрических построений, в основе которых лежат треугольники (лат. triangulum) или четырехугольники (лат. guadratus) и, в частности, квадраты.
29
Первоначально церковь Покрова имела характерный для древнерусских храмов шлемовидный купол, напоминавший шлем воина. В XVII веке шлемовидный купол был переделан на луковичный, который мы и видим сегодня.
30
Конечно, каковы они, "законы красоты" человека, никто не знает; поэтому речь в этой главе пойдет лишь о пропорциях человека, которые, безусловно, являются составной частью этих законов.
31
Распределение канонов по периодам истории Древнего Египта весьма условно.
32
Проекция (лат. projectio) — бросание вперед.
33
Аксонометрия — от греч. axon — ось и metreо — измеряю.
34
Пьеро делла Франческа был не только живописцем, но и математиком, автором "Книги о пяти правильных телах", учителем Луки Пачоли.
35
Следует отметить, что теория перспективы — это наука о видении одним глазом (монокулярная теория). Бинокулярная теория зрения пока далека от завершения.
36
Можно лишь с горечью констатировать, что сегодня нам ничего не известно о рукописи другого саратовского пленника, также написанной по памяти, но от которой нас отделяют не более 150, а менее 50 лет. Это рукопись "История развития мирового земледелия" Джордано Бруно XX века — Николая Вавилова, чья звезда так ярко взошла и столь трагически упала в Саратове.
37
Пиктографическое письмо, пиктография (от лат. pictus — нарисованный и греч. grapho — пишу) — рисуночное письмо, отображающее содержание сообщения в виде последовательности рисунков. Известно с эпохи неолита.
38
Последнее новшество оказалось роковым. Фреска была написана не по сырой штукатурке растворенными в воде красками, как это делалось всегда, а масляными красками. С годами влага, выделяемая стеной, разрушила масляный слой, который стал сворачиваться в виде цветных лепестков разного размера
39
Справедливости ради следует отметить, что Сезанн действительно иногда отступал от зрительных ощущений. Так, он часто преувеличивал размеры горы св. Виктории, которую ему хотелось видеть похожей, скорее, на гималайскую вершину.
