Математический аппарат инженера - [28]
3. Классическое (комбинаторное) определение. Если из общего числа n равно возможных и несовместных исходов (случаев) событию А благоприятствуют m исходов, то вероятность события А
Например, при подбрасывании монеты возможны два исхода — выпадение герба (Г) и цифры (Ц). Эти исходы можно считать равно
- 74 -
возможными (никакой из них не имеет преимущества перед другим) и несовместными (они не могут появиться вместе). Поэтому вероятность герба равна 1/2. Такая же вероятность и выпадания цифры. Полученный результат говорит о том, что при многократных подбрасываниях монеты примерно в половите случаев выпадает греб, причем этот результат тем ближе к действительности, чем больше число испытаний. При подбрасывании двух монет число всех исходов равно четырем {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}. Вероятность выпадения двух гербов (как и двух цифр) равна 1/4, но герб и цифра будут появляться с вероятностью 2/4 = 1/2, поскольку этому событию благоприятствую два исхода {ГЦ, ЦГ}.
В более сложных случаях для подсчета числа исходов используются комбинаторные методы. Пусть, например, известно, что в партии из r изделий имеется s бракованных. Найдем вероятность того, что из выбранных наугад v изделий w окажутся бракованными (событие А). Общее число исходов равно количеству сочетаний из r изделий по v, т.е. C>r>v. Благоприятствующие исходы соответствуют сочетаниям из w бракованных и v — w годных изделий. Так как w бракованных можно выбрать C>s>w различными способами, а v-w годных изделий можно выбрать C>r-s>v-w способами, то число исходов, благоприятствующих событию А, будет C>s>wC>r-s>v-w и следовательно,
Комбинаторное определение возникло в самом начале развития теории вероятностей в связи с изучением шансов в выигрыш в азартных играх. Оно удобно в тех случаях, когда заведомо применимо положение о равновозможности исходов наблюдений (подбрасывание монет и игральных костей, извлечение шаров из урны или карт из колоды, случайная выборка объектов из некоторой их совокупности при статистических исследованиях, распределения и взаимодействия физических частиц и т.п.). В то же время изложенных подход нельзя считать определением вероятности в строгом смысле, так как используемое в нем понятие равновозможности по существу означает равновероятность (вероятность определяется через равновероятность). Кроме того, он оказывается практически бесполезным, если неясно, какие исходы следует считать равновозможными.
4. Статистическое (частотное) определение. Статистический подход основан на регистрации появления события при многократных
- 75 -
наблюдениях в одинаковых условиях. Если событие А появляется в m исходах наблюдений из их общего числа n, то вероятность этого события
Разумеется, бесконечное число наблюдений n можно представить лишь теоретически, а на практике приходится довольствоваться конечным и часто весьма ограниченным числом наблюдений. Получаемое при этом значение для частоты события m/n называют статистической вероятностью. При небольшом числе наблюдений частота события может существенно отклоняться в различных сериях экспериментов, но с увеличением числа наблюдений она все более стабилизируется, сосредоточиваясь вблизи истинного значения вероятности. Так, никто не удивится, если при десятикратных бросаниях монеты герб выпадает 3, 7 или 8 раз. Но если бы при 1000 бросаний герб выпал 300, 700 или 800 раз, то это заставило бы полностью пересмотреть предположение о равновозможности выпаданий герба и цифры или искать какой-то скрытый изъян в проведении экспериментов (известны, например, следующие результаты выпадания герба в десяти сериях, каждая из которых состояла из 1000 подбрасываний монеты: 502, 511, 497, 529, 504, 476, 507, 528, 504, 529).
Статистические вероятности широко используют на практике. Например, при изучении большого числа данных установлено, что частота рождения девочек равна 0,482. Если известно, что из 10000 конденсаторов бракованных оказалось 116, то в аналогичных условиях следует ожидать появление негодного конденсатора с вероятностью 0,0116 или 1,16%.
5. Множество событий. Совокупность всех возможных исходов при данном комплексе условий образует множество элементарных событий. Любое событие рассматривается как подмножество этого основного множества (универсума).
Например, множество всех исходов при бросании двух игральных костей содержит 6·6 = 36 элементов. Каждый из них переставляет собой упорядоченную пару (a, b), где a и b — числа очков, выпавших соответственно при бросании первой и второй кости. Событию, заключающемуся в выпадании дубля, соответствует А (дубль) = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } а выпаданию в сумме меньше шести очков — подмножество В (меньше 6 очков) = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1) }.
Выбор трех из пяти кандидатов {a, b, c, d, e} имеет C>5>3 = 10 исходов, которые и образуют множество элементарных событий. Выбору кандидата a (среди трех кандидатов) соответствует событие
- 76 -
A (выбор a) = {(abc), (abd), (abe), (acd), (ace), (ade) }, выбору кандидатов b и d — событие B (выбор b и d) = {(abd), (bcd), (bde)}, выбору только одного из кандидатов b или d (но не обоих вместе) — событие С (выбору или b или d) = {(abc), (abe), (acd), (ade), (bce), (cde)}.
