Математический аппарат инженера - [26]
Действительно, проверяя полученный результат, получаем 1·2>4 + 1·2>3 + 0·2>2 + 1·2>1 + 0·2>0 = 16 +8+2 = 26.
Дробное число переводится в двоичную систему счисления методом последовательного умножения на два. При этом каждый раз
- 69 -
после запятой двоичного числа записывается 0 или 1 соответственно целой части результата умножения. Последовательное умножение продолжается до тех пор, пока дробная часть не обратится в нуль или пока не получим требуемое количество двоичных знаков после запятой. Например, двоичное представление числа 0,3125 получается следующим образом:
Проверка полученного результата дает: 0·2>-1 + 1·2>-2 + 0·2>-3 + 1·2>-4 = 1/4 +1/16 = 5/16 = 0,3125.
Если число является смешанным, т.е. его целая и дробная части отличны от нуля, то оно переводится в двоичную систему раздельно: целая часть- последовательным делением, а дробная — последовательным умножением.
Арифметические операции над числами сводятся к операциям сложения и умножения одноразрядных чисел. В двоичной системе счисления умножение задается таблицей конъюнкции: 0·0=0; 1·0=0; 0·1=0 и 1·1=1. Сложение выполняется по правилу: 0 + 0 = 0; 1+0=1; 0+1=1 и 1+1=10 (10 — это двоичное число, соответствующее десятичному числу 2). Операции над двоичными числами выполняются по правилам, аналогичными для десятичных чисел, но эти правила предельно упрощаются (особенно для умножения). Например, десятичные операции 41 + 27 = 68 и 41·5= 205 выглядят следующим образом:
- 70 -
Как видно, умножение двоичных чисел сводится к сложению чисел, образованных сдвигом влево первого сомножителя. Поразрядное сложение осуществляется в соответствии с таблицей
причем в случае x>1 = x>2 = 1 образуется единица переноса в старший разряд. Операция, задаваемая этой таблицей, называется сложением по модулю 2. Если при сложении перенос не учитывается, то эта операция вместе с операцией умножения определяет на множестве двоичных чисел арифметику по модулю 2.
Задачи и упражнения
1. Подстановкой в формулу a ∨ b переменных запишите новые формулы и упростите их, если это возможно: а) a = x̅y, b = z. б) a = xy, b = xy̅; в) a = x, b = xy; г) a = x, b = x̅y; д) a = xy, b = c ∨ d, c = xz, d = yz̅.
2. Запишите таблицы соответствия для следующих формул: а) xx̅; б) xy ∨ x̅; в) (p ∨ q)(p̅ ∨ q̅); г) x̅∨̅y̅.
3. Проверьте с помощью таблиц соответствия следующие тождества: а) x̅∨̅y̅ = x̅ y̅; б) x ( x ∨ y) = x; в) x ∨ x̅ y = x ∨ y.
4. Постройте переключательные схемы для обеих частей приведенных ниже тождеств и убедитесь в том, что эти схемы функционируют одинаково:
а) xy∨x̅y∨x̅y̅=y ∨ x̅y̅
б) (x∨y)(x∨z) = x ∨ yz;
в) xyz∨xyz̅∨xy̅ = x.
5. Упростите следующие формулы:
а) x̅yz∨xy̅z̅∨xyz̅;
б) xy∨z∨x̅y̅∨̅z̅(zv∨x);
в) xy̅z̅∨xyz̅∨x̅yz∨xyz;
г) (x∨y)(x̅y̅∨z)∨z̅∨(x∨y)(u∨v).
6. Комитет, состоящий из трех членов, принимает решения большинством голосов. Постройте такую схему, чтобы голосование каждого члена комитета производилось нажатием своей кнопки и чтобы лампочка загоралась, если и только если решение принято. Какое наименьшее количество ключей необходимо?
7. Постройте схему освещения так, чтобы лампочка могла независимо включаться и выключаться двумя выключателями.
- 71 -
8. Преобразуйте формулы к такому виду, чтобы операция отрицания применялась только к логическим переменным:
9. Убедитесь с помощью таблиц соответствия в справедливости выражений для импликации и эквиваленции:
а) x>1→ x>2 = x̅>1∨x>2;
б) x>1 ∼ x>2 = x>1x>2∨ x̅>1x̅>2 = (x>1∨x̅>2)(x̅>1∨x>2);
в) x>1 ∼ x>2 = ( x>1→ x>2 )( x>2→ x>1 ).
10. Постройте переключательные схемы для импликации и эквиваленции в соответствии с тождествами, приведенными в задаче 9.
11. Запишите формулу, соответствующую переключательной схеме рис. 25. Упростите эту формулу и постройте более простую схему.
Рис. 25. Граф переключательной схемы к задаче 11.
12. Постройте переключательные схемы по формулам:
а)(x>1 ∨ x>2x̅>3)(x>1x>2 ∨ x>3x>4)
б) (x̅>1 (x>2 ∨ x̅>3) ∨ x̅>4)x>1.
13. Из простых высказываний x>1 - «испытания проведены» и x>2 - «программа выполнена» образуйте сложные высказывания по формулам а) x>1∨x̅>2; б) x>1x>2; в) x>1→ x>2 ; г) x>1 ∼ x>2.
14. Запишите формулы для следующих высказываний, обозначив буквами входящие в них простые высказывания:
а) Давление падает и система не работает.
б) Вычисления выполнены точно или конструкция несовершенна.
в) Проект разработал Андрей или Петр, а эксперимента выполнил Иван.
г) Если будет хорошая погода, мы отправимся на стадион или пойдем за грибами.
д) Программа может быть выполнена, если и только если материалы поступят своевременно.
е) Если я поеду на автобусе, то опоздаю на работу или я воспользуюсь такси.
ж) Андрей помогает Петру или Петр помогает Андрею, или они помогают друг другу.
15. Запишите формулу, соответствующую высказыванию: «Программа будет выполнена тогда и только тогда, когда закончатся испытания и показатели будут удовлетворительны; если программа не будет выполнена, сотрудники не получат премию или будут пересмотрены технические условия».
16. Даны простые высказывания: x>1 - «идет дождь), x>2 - «очень жарко».
а) Запишите формулу сложного высказывания «Неверно, что идет дождь и очень жарко».
б) Преобразуйте формулу по закону де Моргана и составьте соответствующее высказывание.
«Новый Марс» — это проект жизни на Марсе через 200 лет. Вторая книга, которая окажется на Марсе. Первая — «Будущее освоение Марса, или Заповедник „Земля“». «Новый Марс» включает в себя 2 части: «Марсианская практика в лето 2210» и «В поисках марсианских сокровищ и приключений». Перед вами продолжение художественной повести с далеко ведущей целью: превращение планеты Земля в ядро глобального галактического Заповедника!
Томас Альва Эдисон — один из тех людей, кто внес наибольший вклад в тот облик мира, каким мы видим его сегодня. Этот американский изобретатель, самый плодовитый в XX веке, запатентовал более тысячи изобретений, которые еще при жизни сделали его легендарным. Он участвовал в создании фонографа, телеграфа, телефона и первых аппаратов, запечатлевающих движение, — предшественников кинематографа. Однако нет никаких сомнений в том, что его главное достижение — это электрическое освещение, пришедшее во все уголки планеты с созданием лампы накаливания, а также разработка первой электростанции.