Математический аппарат инженера - [25]
Рис. 24. Граф переключательной схемы (а) и его упрощенное изображение (б).
При этом ребрами считаются только такие линии, которые обозначены какой-либо переменной или ее отрицанием. Другие линии, не являющиеся ребрами графа, могут изображать входы и выходы схемы, связи с другими схемами и т. п. Кроме того, вершины второй степени могут не изображаться, так как им инцидентны пары последовательно соединенных ребер, из которых каждое обозначено соответствующей переменной.
На рис. 24,б показана контактная схема в обычно принятом виде.
8. Высказывания.Пусть х>1 и x>2 - некоторые высказывания, которые могут быть истинными (1) или ложными (0), например: «Я пойду в театр» (х>1) и «Я встречу друга» (x>2). Дизъюнкцией х>1 ∨ x>2 является сложное высказывание «Я пойду в театр или встречу друга», а конъюнкцией х>1 ∧ x>2 - высказывание «Я пойду в театр и встречу друга».
Ясно, что если высказывание истинно, то его отрицание ложно. Сложное высказывание, образованное дизъюнкцией двух высказываний, истинно при условии, что истинно хотя бы одно из них. Сложное высказывание, образованное конъюнкцией двух истинных высказываний истинно, если истинны оба эти высказывания одновременно.
Итак, высказывания можно рассматривать как двоичные переменные, а связки «не», «или», «и», с помощью которых образуются сложные высказывания, - как операции над этими переменными.
- 67 -
В алгебре высказываний используются еще две операции: импликация х>1 → x>2, соответствующая связке «если, то» и эквиваленция х>1 ~ x>2, соответствующая связке «если и только если». Они задаются следующими таблицами:
В нашем примере импликацией будет высказывание: «Если пойду в театр, то встречу друга», а эквиваленцией – пойду в театр, если и только если встречу друга». Как видно из таблиц, импликация высказываний ложна только в случае, когда первое из простых высказываний истинно, а второе ложно. Эквиваленция является истинным высказыванием, если оба простые высказывания истинны или ложны одновременно.
Обозначив буквами простые высказывания, можно представить сложное высказывание формулой с помощью соответствующих связок. Например, высказыванию «Если давление масла на шарик клапана больше усилия его пружины (х>1), то масло открывает клапан (х>2) и частично перетекает из нагнетательной полости во впускную (х>3)» соответствует формула х>1 → х>2 х>3.
9. Предикаты. Обычно высказывания выражают свойства одного или нескольких объектов. Содержательная часть высказывания играет роль определяющего свойства совокупности объектов, для которых это высказывание истинно, и называется предикатом. Например, высказывание «Иванов - отличник» истинно или ложно в зависимости от оценок, которые имеет данный студент. В то же время предикат «х - отличник» определяет подмножество отличников на некотором множестве студентов (группа, курс, факультет). Подставив вместо х фамилии студентов, получим множество высказываний. Совокупность истинных высказываний и будет соответствовать подмножеству отличников.
Предикат представляет собой логическую функцию Р(х), принимающую, как и булевы функции, значение 0 или 1, но в отличие от них, значения аргумента х выбираются из некоторого множества М объектов (х ∈ М). В общем случае такая функция может зависеть от многих аргументов х>1, х>2, . . .,х>n, принимающих значения из одного и того же или различных множеств. Ее записывают Р(х>1, х>2, ...,х>n) и называют n-местным предикатом. Например: «х - четное число», «х - компонент цепи» - одноместные предикаты Р(х);
- 68 -
«х брат у», «х меньше у» — двуместные предикаты Р(х, у); «х и у - родители z»,
«х - сумма y и z» - трехместные предикаты Р(х, y, z) и т. д. Если аргументы х>1, х>2, ... ,х>n замещены конкретными значениями (объектами), то предикат переходит в высказывание, которое рассматривают как 0 - местный предикат.
Так как предикаты способны принимать только значения 0 и 1, то их, как и булевы переменные, можно связывать логическими операциями. В результате получаем формулы, определяющие более сложные предикаты. Так, если Р(х) означает «х - инженер», а Q(х) - «x - сотрудник нашего отдела», то Р(х) ∧ Q(х) = R(х) есть одноместный предикат «х - инженер и сотрудник нашего отдела» или проще «х - инженер нашего отдела». Очевидно, если Р - множество инженеров, а 0 - множество сотрудников данного отдела, то этот предикат соответствует пересечению Р ∩ Q. Таким образом, имеет место тесная связь между логикой предикатов и операциями над множествами.
10. Двоичная арифметика. В позиционной системе счисления с основанием m любое целое неотрицательное число a записывается последовательностью различных цифр x>1x>2 ... x>n, что означает a = x>1m>n-1 + x>2m>n-2 + ... + x>nm>0. Десятичная система использует цифры 0, 1, ..., 9, например: 2907 = 2·10>3 + 9·10>2 + 0·10>1 + 7·10>0. Для двоичной системы счисления достаточно двух цифр, которые обозначаются 0 и 1. При этом последовательность x>1x>2 ... x>n таких цифр является записью двоичного n-разрядного числа x>1·2>n-1 + x>2·2>n-2+ ... + x>n·2>0.
Перевод целых десятичных чисел в двоичные осуществляется последовательным делением исходного числа и каждого частного на два. Получаемые при этом остатки (0 или 1), записанные в обратном порядке, и дают представление десятичного числа в двоичной системе счисления. Например:
