Математические головоломки и развлечения - [131]

Трудно заранее предсказать, каким окажется решение знаменитой проблемы, но можно не сомневаться, что того, кто первым сумеет подтвердить или опровергнуть гипотезу о возможности раскраски любой карты четырьмя красками, ожидает всемирное признание и слава. «Прорыв» в неприступной обороне проблемы может произойти по одному из трех направлений:

1. Будет начерчена карта, для раскраски которой непременно требуются пять красок. «Если взять на себя смелость и составить прогноз на будущее, — пишет Г. С. М. Коксетер в великолепной статье «Проблема четырех красок, 1840–1890 годы», — то я должен высказать предположение, что карта, требующая для своей раскраски пяти красок, вполне может существовать, но даже простейшая из таких карт имеет столько стран (их могут быть сотни и даже тысячи), что ни у кого из тех, кто столкнется с ней, не хватит терпения, чтобы проделать все необходимые проверки и исключить возможность ее раскраски с помощью четырех красок».

2. Будет обнаружено доказательство гипотезы, может быть, с помощью какого-нибудь нового метода, который внезапно откроет многие запертые двери в здании математики.

3. Будет доказано, что доказать или опровергнуть гипотезу невозможно. Это утверждение может показаться странным, но в 1931 году Курт Гёдель установил, что во всякой дедуктивной системе, достаточно сложной для того, чтобы она включала арифметику, существуют математические теоремы, «неразрешимые» в рамках этой дедуктивной системы. До сих пор удалось доказать «неразрешимость» (в смысле Гёделя) лишь очень немногих великих гипотез.

Является ли проблема четырех красок такого рода математической теоремой? Если это так, то ее можно считать «истинной» только в том случае, если ее или какую-нибудь другую тесно связанную с ней теорему включить в качестве нового недоказуемого постулата в расширенную дедуктивную систему.

К сожалению, доказательство того, что пяти красок достаточно для раскраски карт на плоскости, а шести или более красок необходимо и достаточно для раскраски некоторых более сложных поверхностей, слишком длинно, чтобы приводить его здесь. Некоторое представление о том, как протекает доказательство этих теорем, читатель сможет получить из следующего остроумного доказательства теоремы о раскраске в два цвета.

Рассмотрим все возможные карты на плоскости, образованные прямыми. Примером такой карты может служить обычная шахматная доска. Менее правильный узор изображен на рис. 221 слева.

Достаточно ли двух красок для раскрашивания всех таких карт?

Оказывается, достаточно, и доказать это нетрудно. На любой правильно раскрашенной карте интересующего нас типа проведем еще одну прямую (например, жирную прямую, как на рис. 221 справа), разделив плоскость на две «карты».

Рис. 221Для раскраски любой карты, образованной прямыми, пересекающими всю ее поверхность от одного края листа до другого, достаточно двух красок.

Каждая из новых карт в отдельности раскрашена правильно, но к новой «границе» только что проведенной прямой примыкают пары областей, окрашенных в один и тот же цвет. Для того чтобы восстановить правильную раскраску всей карты в целом, нужно перекрасить одну из карт-половинок (какую именно — безразлично), изменив окраску каждой из областей на противоположную. То, что при этом получится, показано на рис. 221 слева. Карта над черной прямой «обращена» — перекрашена так, словно «отрицательные» области стали «положительными» и наоборот, и, как нетрудно видеть, вся карта раскрашена правильно.

Для завершения доказательства рассмотрим плоскость, разделенную на две области одной-единственной прямой. Такую карту, разумеется, можно раскрасить в два цвета. Проведем вторую прямую и раскрасим новую карту, переменив все цвета по одну сторону от новой прямой на противоположные. Затем проведем третью прямую и т. д. Ясно, что предложенный метод пригоден при любом числе прямых. Следовательно, «методом полной математической индукции» мы доказали теорему о возможности раскраски в два цвета всех карт, образованных прямыми на плоскости. Доказательство можно несколько обобщить на случай более разнообразных карт, например таких, как карта на рис. 222, образованная либо кривыми, пересекающими весь лист от одного края до другого, либо замкнутыми кривыми без самопересечений.

Рис. 222Двух красок достаточно для раскрашивания карты, образованной либо линиями, идущими от одного края листа до другого, либо замкнутыми кривыми.

Проведя еще одну кривую, пересекающую всю карту от одного ее края до другого, мы должны, как и прежде, изменить все цвета по одну сторону от кривой на противоположные. Если вновь проведенная кривая замкнута, то изменить нужно окраску всех областей, попавших внутрь кривой, или, если угодно, всех областей, оказавшихся снаружи. Замкнутые кривые могут иметь и точки самопересечения, но в этом случае перекрашивание областей более сложно.

Заметим, что на всех приведенных здесь двухцветных картах все вершины четны (напомним, что вершиной называется точка, в которой сходятся границы более двух стран), то есть в каждой вершине сходится четное число границ. Можно показать, что любую карту на плоскости можно раскрасить в два цвета тогда и только тогда, когда все ее вершины четны. Это утверждение известно как «теорема о двухцветных картах». Нетрудно видеть, что на торе эта теорема не выполняется. Для этого достаточно скатать в трубку квадратный лист бумаги, расчерченный на девять маленьких квадратов (наподобие игрового поля для крестиков и ноликов), а концы трубки склеить. Все вершины на таком «клетчатом» торе четны, но для его раскрашивания необходимо взять три краски.