Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - [18]
Проблемы возникли, когда буквоеды-подростки начали шумно требовать рассказать им, сколько раз нужно расщеплять волос, чтобы получился пучок правильных линий. Подходит ли для этих целей конский волос, или нужно воспользоваться волосом из девичьего хвоста? И далее в том же духе, пока несчастный автор новой геометрии не оказался на грани от потери рассудка. Доведенный до крайности, уже пересекая порог сумасшедшего дома, этот человек, обманутый в своих надеждах, продолжал кричать, что все линии существуют только в уме геометров и что он бросил вызов всем математикам в мире, несогласным с ним. Своим дерзким вызовом ортодоксальности новый геометр задекларировал факт, который ни один математик, кроме, возможно, тех, кто придерживался реалистичных позиций в духе Платона, не стал бы оспаривать. Фалес, как предполагают, был все-таки первым из тех, кто придумал нечто абсолютно противоположное тому, чему собирался учить революционно настроенный педагог. След мела, царапины, расщепленные волосы и все иные бесчисленные, поддающиеся чувственному восприятию «прямые линии» обозначает некая абстрактная прямая линия – «длина без ширины», как самая простая идеализация их всех. Эта прямая линия геометров не существует в материальном мире. Это чистая абстракция, плод воображения или, если кому-то нравится, мысль вселенского разума. И нет необходимости выискивать недостатки типа какой ширины прямая линия, поскольку словосочетание «ширина линии» больше не имеет значения.
Этот процесс очищения повседневного опыта и абстрагирования от него, то есть выделения общей концепции, позволил создать математику, механику и теоретическую физику. Такой подход вдохновил Платона на его возвышенную мистическую философию. Геометрия линий не имеет привязки к той или иной «линии» из так называемого чувственного опыта, она связана исключительно с конкретными определениями и постулатами касательно идей или гениальных провидений, несущих пользу науке и математике, и действительна для всех типов линий, детерминированных данными определениями и постулатами.
Нынешние геометры знают, что не все может быть детерминировано как составное из простейших составляющих. Но от какого-то неразложимого минимума надо вести начало. Начало для прямых линий находится в следующих простейших абстракциях чувственного опыта: «Две прямые линии пересекаются в одной, и только в одной точке. Через две точки можно провести одну прямую линию, и только одну». В этих постулатах ни «точка», ни «прямая линия» не имеют дальнейшего уточнения или объяснения. Это два базовых, не имеющих дальнейшего деления элемента, на которых построена вся геометрия.
Любой разумный человек может видеть в «точке» и «прямой линии» общеизвестные понятия, которые, как ему представляется, он понимает интуитивно. Но каждое из этих интуитивных ощущений должно оставаться на заднем плане. Оно не должно навязываться геометрии. Подобный запрет не имеет целью встать на пути поиска мысли при формулировании теорем. Начиная с двенадцатилетнего школьника и заканчивая семидесятилетним ученым в тиши кабинета, всякий, посвятивший себя геометрии, нуждается в интуиции и пользуется ею. Только после того, как интуиция и воображение полностью исчерпают себя, они могут быть отброшены, уступив место логике.
В теоретической астрономии и физических науках процедура точно такая же. Земля, которую мы населяем и знаем благодаря нашим ощущениям, – не идеальная планета, которой она представляется в механике небесных тел. Она покрыта глубокими океанами и испещрена горными системами. Эта планета, которую учитывают в расчетах возмущений Солнечной системы, является как безразмерной частицей, наделенной массой и положением, так и гладкой без особых примет сферой, слегка покачивающейся относительно своих полюсов. И хотя солнце и планеты Солнечной системы идеализируются подобным образом, орбиты комет рассчитываются с такой точностью, что возврат перигелия кометы Галлея в 1910 году после ее отсутствия в течение примерно 75 лет был предсказан с погрешностью только в 3,03 дня – около 1 из 9125.
В настоящее время все сказанное настолько хорошо знакомо, что нас можно извинить, если мы посчитаем это явно граничащим с трюизмом. Но всякий, кому и дальнейшее покажется очевидным, является либо гением, либо просто равнодушным человеком. Просто чудесно, что идеальный мир математиков или ученых-теоретиков должен время от времени предсказывать существование непредвиденных событий «реального» мира.
Приведу известный пример такого предсказания. Положение планеты Нептун за пределами возможностей человеческого глаза было предсказано (в 1846 году) путем математических расчетов на основе закона всемирного тяготения Ньютона, и телескоп обнаружил планету очень близко к расчетному месту. Или более свежий пример (1927). Современная физика и математика на основе квантовой теории предположила существование двух видов молекул водорода, ортоводорода и параводорода, о которых химики даже не догадывались. Более того, их соотношение (>3/>4 и >1/>4) в «водороде» совпало с расчетными. Как можно объяснить подобные предсказания?
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.