Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности - [32]

Шрифт
Интервал

Более того, поскольку наука работает с моделями, мы можем понять диапазон применимости каждого конкретного результата. Никакая научная истина не есть истина абсолютная. Эти истины справедливы лишь в пределах применимости конкретной модели, в области, в которой результаты могут быть подтверждены и уточнены экспериментом. Именно поэтому модели, используемые для описания Тихонии и Диконии, могут быть радикально разными и в то же время верными — каждая в своем сегменте мира.

Чтобы мы смогли понять модели, описывающие Диконию, мне нужно упомянуть еще об одном аспекте тихонской науки. Для нее не вызывает никаких затруднений тот факт, что если вероятность некоего конкретного события равна нулю, то это не значит, что такое событие не может произойти. Это утверждение кажется противоречивым, но в его основе лежит весьма простая логика.

Представим себе, что мы ставим карандашную отметку в случайном месте листа бумаги. Вероятность того, что центр этой отметки попадет в какую-либо конкретную точку листа, равна нулю. Дело в том, что будь эта вероятность каким-либо положительным числом, назовем его х, тогда это же самое число x выражало бы и такую же вероятность попадания в любую другую точку. Но число точек на листе бумаги бесконечно, так что сумма вероятностей по всем точкам листа была бы равна не единице, как должно быть, а бесконечности. Поэтому вероятность попадания карандаша в какую-либо конкретную точку бесконечно мала — то есть равна нулю.

Но карандаш должен попасть в какое-то место листа, так что, когда мы прикасаемся карандашом к бумаге, происходит событие, имевшее за мгновение до этого нулевую вероятность. Математика Тихонии способна справиться с этой головоломкой без каких бы то ни было затруднений, хотя для того, чтобы сообразить, как нужно определить вероятность, чтобы можно было создать непротиворечивую теорию, потребовалось участие нескольких выдающихся талантов и пары-тройки гениев. Однако я не стану углубляться в технические детали их работы в этой области.

С точки зрения традиционной науки Тихонии осуществление события нулевой вероятности не означает, что произошло чудо. Или же мы можем сказать, что речь идет о мелком, повседневном чуде, относящемся к разряду того, что я назвал псевдочудесами. Таким образом, наука Тихонии способна работать не только с такими явлениями низкой вероятности, как чрезвычайно низкие или высокие доходы или вечная молодость. Она также может разбираться с событиями, которые происходят несмотря на то, что вероятность их наступления равна нулю. Именно поэтому мы то и дело сталкиваемся с псевдочудесами.

Все это важно понимать очень четко, потому что в дальнейшем мы увидим, что некоторые из чудес Диконии характеризуются не крайне малой или даже нулевой вероятностью, а отсутствием какой бы то ни было вероятности. То есть существуют такие явления, которым нельзя приписать никакой вероятности, — в том же смысле, в котором у распределения Коши нет стандартного отклонения. Это может быть связано, например, с тем, что такие события невообразимы, но произойти никак иначе они не могут. Есть множество других причин, по которым событию нельзя приписать хоть какой-либо вероятности, но оно тем не менее может произойти. Так обстояло дело со стрельбой нашей Фиби, которая могла попасть в стену в точке, находящейся почти невообразимо далеко.

Гёдель как окраина Тихонии

При обсуждении окраин Тихонии не следует забывать о теореме Гёделя, которая целиком и полностью происходит из тихонской математики, хотя и потрясла эту математику до самого основания. Она произвела поразительно необычный результат, который до того был невообразимым для многих из самых выдающихся теоретиков. Кроме того, она была с точки зрения математиков явлением в высшей степени нежелательным. В 1900 году, когда великий немецкий математик Давид Гильберт составил список наиболее насущных математических задач на наступающее столетие, одним из первых пунктов этого списка было доказательство того, что математика никогда не порождает противоречий[54]. Эту задачу Гёдель решил в своей второй теореме о неполноте, но полученный им результат был прямо противоположен ожидавшемуся. Вместо того чтобы доказать, что математика непротиворечива, он доказал, что доказать непротиворечивость математики внутри ее самой невозможно. Говорят, Гильберт рассердился, когда узнал о теореме Гёделя. Джон фон Нейман, как мы видели, просто забросил свои исследования в области логики.

До Гёделя всегда считалось самоочевидным, что для нахождения решения математической задачи требуются только достаточные способности, рассудительность и ловкость. Математик не был стопроцентно уверен, что решение существует, так как поставленная Гильбертом задача о непротиворечивости еще не была решена (не решена она и до сих пор), но у него не было причин сомневаться в том, что рано или поздно непротиворечивость математики будет доказана. После Гёделя приходится постоянно помнить о том, что решение задачи может не даваться не потому, что решающему ее не хватает ума, а потому, что задача эта — гёделева, то есть в рамках системы математики невозможно вывести ни заключенное в ней утверждение, ни утверждение обратное ему. И разумеется, появляется все больше результатов, доказывающих, что некоторые задачи действительно являются гёделевыми.


Рекомендуем почитать
Легенда о Вавилоне

Петр Ильинский, уроженец С.-Петербурга, выпускник МГУ, много лет работал в Гарвардском университете, в настоящее время живет в Бостоне. Автор многочисленных научных статей, патентов, трех книг и нескольких десятков эссе на культурные, политические и исторические темы в печатной и интернет-прессе США, Европы и России. «Легенда о Вавилоне» — книга не только о более чем двухтысячелетней истории Вавилона и породившей его месопотамской цивилизации, но главным образом об отражении этой истории в библейских текстах и культурных образах, присущих как прошлому, так и настоящему.


Открытия и гипотезы, 2005 №11

Научно-популярный журнал «Открытия и гипотезы» представляет свежий взгляд на самые главные загадки вселенной и человечества, его проблемы и открытия. Никогда еще наука не была такой интересной. Представлены теоретические и практические материалы.


Жители планет

«Что такое на тех отдаленных светилах? Имеются ли достаточные основания предполагать, что и другие миры населены подобно нашему, и если жизнь есть на тех небесных землях, как на нашей подлунной, то похожа ли она на нашу жизнь? Одним словом, обитаемы ли другие миры, и, если обитаемы, жители их похожи ли на нас?».


Знание-сила, 2000 № 07 (877)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Меч и Грааль

Взыскание Святого Грааля, — именно так, красиво и архаично, называют неповторимое явление средневековой духовной культуры Европы, породившее шедевры рыцарских романов и поэм о многовековых поисках чудесной лучезарной чаши, в которую, по преданию, ангелы собрали кровь, истекшую из ран Христа во время крестных мук на Голгофе. В некоторых преданиях Грааль — это ниспавший с неба волшебный камень… Рыцари Грааля ещё в старых текстах именуются храмовниками, тамплиерами. История этого католического ордена, основанного во времена Крестовых походов и уничтоженного в начале XIV века, овеяна легендами.


Популярно о микробиологии

В занимательной и доступной форме автор вводит читателя в удивительный мир микробиологии. Вы узнаете об истории открытия микроорганизмов и их жизнедеятельности. О том, что известно современной науке о морфологии, методах обнаружения, культивирования и хранения микробов, об их роли в поддержании жизни на нашей планете. О перспективах разработок новых технологий, применение которых может сыграть важную роль в решении многих глобальных проблем, стоящих перед человечеством.Книга предназначена широкому кругу читателей, всем, кто интересуется вопросами современной микробиологии и биотехнологии.