Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности - [34]

.

Мы понимаем, насколько нестрогим был наш пример с чашкой кофе. Не случайно математики говорят о вещах более абстрактных, чем кофеиносодержащие напитки. Чашка кофе не является замкнутым множеством в математическом смысле слова. Ее границей служит стенка чашки, которая не является частью кофе; к тому же во время перемешивания кофе из него испаряются молекулы воды. Тем не менее такой конкретный пример живо иллюстрирует теорему; хотя ему недостает точности, он пробуждает интерес к задаче.

При отказе от условия непрерывности исчезает и необходимость неподвижной точки. Например, если нам каким-то образом удастся отделить нижнюю половину кофе от верхней (скажем, заморозив весь кофе и распилив его пополам), а затем поместить нижнюю половину наверх, а верхнюю — вниз, то каждый атом, содержащийся в кофе, окажется либо выше, либо ниже своего исходного положения: никаких неподвижных точек в кофе не останется.

Таким образом, теорема Брауэра о неподвижной точке утверждает, что простым перемешиванием невозможно поменять местами верхнюю и нижнюю половины кофе в их исходной конфигурации. Мы можем мешать как угодно, но Брауэр гарантирует, что в каждый момент существует неподвижная точка, а в той конфигурации, которую мы хотим получить, неподвижных точек нет. Теорема Брауэра о неподвижной точке представляет собой важный математический результат отчасти потому, что она настолько не соответствует нашим интуитивным представлениям: казалось бы, должен существовать способ, который перемещает все атомы в другие точки чашки. Аналогичным образом кажется, что должна существовать возможность причесать ежа. Речь идет о еже, свернувшемся в идеальный шар. Одно из следствий из теоремы Брауэра о неподвижной точке гласит, что, как бы мы его ни причесывали, на поверхности шара всегда останется по меньшей мере одно завихрение — участок, на котором иголки торчат в разные стороны.

Теоремы о неподвижной точке ценой в Нобелевскую премию

Математики обобщили изящную теорему Брауэра во многих направлениях[56], и из различных ее приложений сформировалась целая новая область математики — теория неподвижной точки. Теорема была обобщена на многомерные пространства, на некоторые классы разрывных отображений и на некоторые другие случаи. Японский математик Сидзуо Какутани даже доказал теорему о неподвижной точке для некоторых абстрактных отображений, которые отображают единичную точку в целое множество. С тех пор обобщение Какутани стало одним из основных инструментов математической экономики. Но для того, чтобы извлечь из теоремы Брауэра по-настоящему глубокие выводы, потребовался математик калибра Джона фон Неймана.

Фон Нейман начал не с обобщения теоремы — он занялся рассмотрением ее приложений. Первое разработанное им приложение было довольно неожиданным: создание теории игр. Фон Нейман установил, что то, что Брауэр называл неподвижной точкой, в контексте стратегических игр можно считать — если использовать одно поразительное обобщение, имеющее широкую область применения, — точкой равновесия. «Равновесием» здесь называется набор стратегий (по одному стратегическому плану на каждого игрока), при использовании которого ни один из игроков не может улучшить свое положение только за счет изменения стратегии. Более подробное обсуждение теории игр можно найти в моей книге «Этические расчеты».

Создав теорию игр, фон Нейман понял, что при достаточно абстрактном рассмотрении экономики ее можно представить в виде набора игр и отображений. Стало быть, экономика состоит именно из тех двух компонентов, к которым применима теорема Брауэра о неподвижной точке.

Например, динамика теории игр начинает действовать в переговорах по любой сделке. Интересы игроков естественным образом оказываются взаимно противоположными — так же, как интересы игроков в покер. Но у них могут быть и общие интересы — так же, как все игроки в покер заинтересованы в том, чтобы игорный дом взимал с них как можно меньшую плату, а игра шла без шулерства.

Коммерческие транзакции можно рассматривать как отображения. Когда мы покупаем что-либо, мы отображаем свои деньги в товары. Когда мы производим что-либо, сырье и рабочая сила отображаются в продукцию. Построив такие отображения в абстрактном виде, фон Нейман обнаружил, что экономика непременно должна содержать равновесные точки — не только в соревновательных и, следовательно, описываемых теорией игр аспектах транзакций, но и в столь прозаических областях, как производство и потребление.

Чрезвычайно существенно, что в экономике имеются точки равновесия; более того, вся экономика может находиться в состоянии равновесия. В некотором роде удивительно, что экономические системы настолько устойчивы, учитывая, что каждый из действующих в экономике игроков, вообще-то говоря, заботится только о своих собственных интересах. В своей великой книге «Исследование о природе и причинах богатства народов», вышедшей в 1776 году, шотландский экономист Адам Смит говорит: «Не от благожелательности мясника, пивовара или булочника ожидаем мы получить свой обед, а от соблюдения ими своих собственных интересов». Ниже он описывает, как именно эгоистический интерес может послужить на пользу обществу: