Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления - [15]
Следующая задача взята из теста на проверку общих способностей (SAT), который в 1982 году прошли 300 тысяч американцев. Только три ученика решили ее правильно. А вы сможете?
Радиус окружности A равен 1/3 радиуса окружности B. A совершает один оборот вокруг B и возвращается в исходную точку. Сколько раз окружность A обернется вокруг своего центра за это время?
а)
б) 3;
в) 6;
г)
д) 9.
А теперь обратимся к головоломке, которая заставит вас размышлять совершенно иначе.
На столе лежат восемь квадратных листов бумаги одинакового размера. Их края образуют следующий рисунок, причем только лист под номером 1 виден полностью.
Можете ли вы пронумеровать все остальные листы с учетом того, что 2 означает второй уровень, 3 – третий и т. д.?
Впервые о задаче с чистыми листами бумаги я узнал из блестящей книги Кобона Фуджимуры The Tokyo Puzzles («Токийские головоломки»).
В 1930–1970-х годах Фуджимура был королем головоломок в Японии. Он написал и опубликовал много книг, в том числе несколько бестселлеров, а в 1950-х даже организовал собственную еженедельную телепрограмму о головоломках. Популярность Фуджимуры явилась предвестником современного бума японских головоломок, вершиной которого стал международный успех судоку в 2000-х годах (об этом я расскажу подробнее чуть дальше в этой главе).
Японцы склонны более игриво относиться к числам, чем жители стран Запада, – во всяком случае, так мне показалось во время двух визитов в Японию. Японские школьники рассказывают таблицу умножения с такой же радостной непринужденностью, как и детские стишки. В прошлом популярным развлечением в этой стране были игры с числами на билетах метро. Кроме того, в Японии ментальную арифметику[18] превратили в зрелищное состязание. Овладение навыками вычислений на счетах – популярное внеклассное занятие, а для лучших мастеров в этом деле проводятся турниры. В 2012 году я побывал на национальном чемпионате по счету на счетах, кульминацией которого стала игра, в ходе которой участники состязания должны были на воображаемых счетах сложить 15 чисел, демонстрируемых им менее чем за две секунды. Это было напряженное и захватывающее соревнование!
Вот еще одна головоломка Фуджимуры, которая мне очень нравится.
Большой квадрат разделен на 16 квадратов меньшего размера. На рисунке изображены два способа разделить большой квадрат на два одинаковых фрагмента.
Существует еще четыре способа сделать это. Сможете ли вы их найти?
Следует уточнить, что разрезать квадрат можно только по внутренним линиям, а также что две полученные фигуры должны быть идентичными. Иными словами, если бы квадраты были изготовлены из картона, вы могли бы полностью совместить их, наложив один на другой в горизонтальной плоскости. Однако если ради этого вам придется перевернуть хоть одну фигуру (то есть повернуть верхней стороной вниз), то они не будут считаться идентичными.
И наконец, головоломка Фуджимуры с кривыми линиями. Возможно, для ее решения вам понадобится формула площади круга, равная произведению числа π на квадрат радиуса круга, или πr>2.
На рисунке изображена четверть круга, в которой заключены два полукруга меньшего размера. Докажите, что площадь фигуры А, имеющей форму крыла, равна площади фигуры В, имеющей форму линзы.
Эта головоломка мне нравится не только визуально, но и потому, что напоминает о японской традиции XVII–XIX столетий. В те времена на гробницах и в храмах выставлялись деревянные таблички с начертанными на них задачами по геометрии. Такие таблички назывались сангаку и обозначали подношения божествам, а также публично объявляли о последних достижениях. Сангаку превращали математику в общественное событие, источник развлечения и восхищения. Я видел табличку сангаку в храме в Киото. На ней были изображены круги, треугольники, сферы и другие фигуры, красиво разрисованные белым и красным цветами. Геометрические фигуры образуют гармоничную, артистичную композицию, передающую эстетику, совершенно не свойственную сугубо дидактическим рисункам в западных учебниках геометрии. Как правило, сангаку содержит финальный чертеж задачи и лаконичную подпись внизу, как на табличке из храма в Нагое, созданной в 1865 году (см. рисунок ниже). Автором задачи считается пятнадцатилетний мальчик по имени Танабе Сигетоси.
На рисунке изображены круги пяти размеров. В порядке увеличения можно насчитать шесть белых кругов, семь темно-серых, три светло-серых, один круг, обозначенный пунктирной линией и вписанный в треугольник, а также один круг, нарисованный сплошной линией.
Сколько радиусов белого круга можно разместить вдоль радиуса круга, обозначенного пунктирной линией?
Задача поражает своим изяществом. Трудно понять, с чего следует начать. Но как только вы найдете способ выразить радиус определенных кругов через радиус других кругов, обнаружите поистине прекрасную головоломку.
Автор следующей задачи – японский подросток еще младше Сигетоси. В 1847 году сангаку тринадцатилетнего Сато Наосуэ появилась в храме, расположенном почти в 500 километрах от Токио. Эта головоломка сложнее предыдущей, поскольку, как почти во всех задачах с прямоугольными треугольниками, для ее решения нужно знать теорему Пифагора.
