Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр. - [18]
Для анализа игр очень полезным инструментом оказывается так называемая платежная матрица (Pay-off Matrix). Она представляет собой двойную таблицу, где слева записываются возможные стратегии игрока А, а вверху — игрока В. Под стратегиями понимаются возможности, появляющиеся в ходе игры. В каждой ячейке таблицы указаны выигрыши или проигрыши каждого игрока, полученные в результате выбранной стратегии. Два числа, разделенные запятой или косой чертой, обозначают выигрыши и проигрыши первого и второго игрока соответственно.
Игрок В | |||
1 | 2 | ||
Игрок А | 1 | 10/2 | -3/5 |
2 | 1/-6 | 4/8 |
Эта платежная матрица говорит нам, что если игрок А выберет стратегию 2, а игрок В — стратегию 1, то в результате выигрыш первого составит 1, а проигрыш второго — 6. Если же игрок А выберет стратегию 1, а В — 2, то проигрыш первого составит 3, а выигрыш второго — 5. Ниже приведен еще один, более простой способ изображения платежной матрицы с такой же расшифровкой.
В1 | В2 | |
А1 | 10,2 | -3,5 |
А2 | 1-6 | 4,8 |
При игре с нулевой суммой достаточно вставить одно число в каждую ячейку, так как выигрыш одного игрока будет равен потере другого.
Джон фон Нейман за чаепитием с выпускниками в Институте перспективных исследований Принстона (IAS) в ноябре 1947 года.
Бюст фон Неймана в Будапеште.
В 1944 году Оскар Моргенштерн (на фото) и Джон фон Нейман выпустили совместную работу Theory of Games and Economic Behavior («Теория игр и экономическое поведение·).
В1 | В2 | |
А1 | 9 | -3 |
А2 | -2 | 14 |
Эта матрица показывает, что если игрок А выберет первую стратегию, а игрок В — вторую, то первый потеряет 3, а второй выиграет 3, и так далее для остальных ячеек.
Этот способ представления игры для двух человек с нулевой суммой в виде двойной таблицы фон Нейман назвал сведением к нормальной форме игры.
Разумеется, таблицы, приведенные выше, могут относиться только к очень простым играм, но это не означает, что их нельзя применить и к таким сложным, как шахматы, хотя в этом случае таблица была бы огромной. Но важны не размеры таблицы, а то, что игры такого типа можно привести к нормальной форме.
Предшественником фон Неймана в моделировании игр был французский математик Эмиль Борель (1871-1956), опубликовавший с 1921 по 1927 год серию работ по теории игр, целью которых было установить выигрышные стратегии вне зависимости от фактора удачи или психологического состояния игроков в момент принятия решений. Несмотря на то что их работы в чем-то схожи, фон Нейман всегда утверждал, что проводил свои исследования совершенно независимо от Бореля. Можно с точностью сказать, что математические результаты фон Неймана имеют более общий характер и отвечают на такие ключевые вопросы, которые никогда даже не поднимались в работах Бореля. Тем не менее некоторые ученые отстаивают важность его вклада и, говоря об этой схеме, называют ее теорией Бореля — Неймана.
Для того чтобы установить выигрышную стратегию в игре, игроки должны отвечать двум требованиям.
1. Они оба должны быть рациональными.
2. Они оба должны выбирать свои стратегии, ориентируясь исключительно на личную выгоду.
Теперь представим, что игроки А и В участвуют в игре со следующей платежной матрицей.
В1 | В2 | B3 | |
А1 | -5 | 0 | -2 |
А2 | 1 | -3 | -2 |
A3 | 3 | 8 | -1 |
Она содержит три возможных выбора для каждого игрока. Предположим, что числа обозначают выигрыши или проигрыши в евро. Следовательно, речь идет об игре с нулевой суммой в ее нормальной форме. Проанализируем возможные стратегии игроков. Допустим, В выбирает первую стратегию. В таком случае лучшим вариантом для А будет третья стратегия: с ней он заработает 3 евро, тогда как с первой потеряет 5, а со второй выиграет всего 1. Если же В выберет вторую стратегию, то А тоже будет лучше следовать третьему варианту, так как он позволяет заработать больше всего. Наконец, если В выберет третью стратегию, то А проиграет в любом случае, но его проигрыш составит только 1 евро. Следовательно, для А лучшей стратегией, безусловно, будет третья, вне зависимости от выбора В.
У игрока В немного другая ситуация. Если А выберет первую стратегию, наилучшим вариантом будет В1. В случае А2, разумеется, следует выбрать В2, а в случае A3 В должен выбрать третью стратегию, так как с ней он потеряет меньше всего. При этом В не имеет ни малейшего понятия о том, как поступит А, и тем не менее он должен сделать свой выбор. Именно в этот момент строится следующее предположение: «А — рациональный игрок, и лучший вариант для него — A3; в этом случае ВЗ будет для меня выгоднее всего, и значит, я последую этой стратегии». Игрок В знает, что в противном случае он проиграет, и пытается свести этот риск к минимуму.
Исследуя эту схему, фон Нейман сделал следующее замечание: на каждой строке всегда есть число меньше остальных двух. Он назвал его минимальным значением. Например, в предыдущей таблице в первой строке стоят числа -5, 0, -2. Самое маленькое из них -5. Таким же образом, минимальное значение для второй строки -3, для третьей —1. Фон Нейман взял самое большое из этих трех чисел, —1 (из всех трех вариантов оно является минимальным проигрышем), и назвал его максимином.
Рассказ о жизни и делах молодежи Русского Зарубежья в Европе в годы Второй мировой войны, а также накануне войны и после нее: личные воспоминания, подкрепленные множеством документальных ссылок. Книга интересна историкам молодежных движений, особенно русского скаутизма-разведчества и Народно-Трудового Союза, историкам Русского Зарубежья, историкам Второй мировой войны, а также широкому кругу читателей, желающих узнать, чем жила русская молодежь по другую сторону фронта войны 1941-1945 гг. Издано при участии Posev-Frankfurt/Main.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Уникальное издание, основанное на достоверном материале, почерпнутом автором из писем, дневников, записных книжек Артура Конан Дойла, а также из подлинных газетных публикаций и архивных документов. Вы узнаете множество малоизвестных фактов о жизни и творчестве писателя, о блестящем расследовании им реальных уголовных дел, а также о его знаменитом персонаже Шерлоке Холмсе, которого Конан Дойл не раз порывался «убить».
Это издание подводит итог многолетних разысканий о Марке Шагале с целью собрать весь известный материал (печатный, архивный, иллюстративный), относящийся к российским годам жизни художника и его связям с Россией. Книга не только обобщает большой объем предшествующих исследований и публикаций, но и вводит в научный оборот значительный корпус новых документов, позволяющих прояснить важные факты и обстоятельства шагаловской биографии. Таковы, к примеру, сведения о родословии и семье художника, свод документов о его деятельности на посту комиссара по делам искусств в революционном Витебске, дипломатическая переписка по поводу его визита в Москву и Ленинград в 1973 году, и в особой мере его обширная переписка с русскоязычными корреспондентами.
Настоящие материалы подготовлены в связи с 200-летней годовщиной рождения великого русского поэта М. Ю. Лермонтова, которая празднуется в 2014 году. Условно книгу можно разделить на две части: первая часть содержит описание дуэлей Лермонтова, а вторая – краткие пояснения к впервые издаваемому на русском языке Дуэльному кодексу де Шатовильяра.
Книга рассказывает о жизненном пути И. И. Скворцова-Степанова — одного из видных деятелей партии, друга и соратника В. И. Ленина, члена ЦК партии, ответственного редактора газеты «Известия». И. И. Скворцов-Степанов был блестящим публицистом и видным ученым-марксистом, автором известных исторических, экономических и философских исследований, переводчиком многих произведений К. Маркса и Ф. Энгельса на русский язык (в том числе «Капитала»).