История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - [8]

3. Теорема Пифагора

Каждый из нас сталкивался в школе с этой теоремой. Сейчас ее называют «теоремой Пифагора», но она была широко известна в древности задолго до рождения знаменитого грека. Существование этой теоремы дает нам возможность сравнить стили математических рассуждений и основные направления работы некоторых древних математиков, относящихся к различным культурам.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух более коротких сторон равна квадрату наиболее длинной стороны. Можно построить такие треугольники с целочисленными сторонами; самый известный из них — треугольник со сторонами 3, 4, 5. Существует бесконечное множество таких, как их называют, пифагоровых треугольников, например треугольники со сторонами 5,12,13 и 7, 24, 25, которые также были известны в древности.

Одна из самых восхитительных математических таблиц Вавилона, ныне известная как «Плимптон 322», хранится в Колумбийском университете Нью-Йорка. Числа на ней расставлены в четыре столбца и пятнадцать рядов. Похоже, что это лишь часть разбитой таблицы. Теперь принято считать, что на ней описан дробный пифагоровский треугольник — источник всех последующих. Этот сложный метод означает, что вавилоняне знали теорему Пифагора уже в 1800–1650 годах до нашей эры, то есть больше чем за тысячу лет до Пифагора. Это предположение было подтверждено еще одной табличкой, найденной около Вавилона и датируемой приблизительно тем же периодом, — в настоящее время это один из самых древних примеров теоремы Пифагора. Для геометрических вычислений и решений алгебраических уравнений вавилоняне использовали линейку, хотя такая алгебра была скорее риторической, чем символической. Некоторые считают, что вавилоняне, возможно, заложили фундамент самой ранней формы тригонометрии.

Обычно истоки ведического периода индийской цивилизации относят к началу первого тысячелетия до нашей эры. В то время закладывались основы индийской культуры и религии — создавались священные тексты (такие, как «Веды» и «Упанишады»), а также правила социального поведения, например «Законы Ману». Математические знания того периода записаны в книгах «Шульба-сутры» — дополнений к «Ведам». Неудивительно, что эти памятники в основном посвящены математике, которая должна была обеспечить точность исполнения ритуалов. Термин «шульба» означает «шнур» или «веревка» — ею обычно измерялись алтари. До нас дошли три версии этих текстов, самая ранняя предположительно была написана между 800 и 600 годом до нашей эры. Упрощенная теорема Пифагора звучит там следующим образом: веревка, натянутая по диагонали квадрата, порождает квадрат, вдвое превышающий по размеру исходный квадрат. Более поздняя и более общая теорема формулируется в книге «Катьяяна»: «веревка, натянутая по диагонали прямоугольника, формирует площадь, которую совместно образуют вертикальная и горизонтальная его стороны». Никакого доказательства не приводится, но описано множество практических применений этого принципа. Существовали правила, согласно которым строились алтари. Они были совершенно однотипными и строились по одному проекту, вследствие чего геометрические методы были предпочтительнее, чем числовые. Например, если вам необходимо удвоить площадь квадрата, проще всего построить квадрат, стороны которого были бы диагональю исходного квадрата, а не тратить время на вычисление, по которому сторону нового квадрата придется увеличить на √2. У индийцев были превосходные методы вычисления √2, но по религиозным мотивам требовалась абсолютная точность — приблизительного значения было недостаточно.

Самый ранний китайский математический текст — «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона»), написанный предположительно между 500 и 200 годом до нашей эры. Он основан на тексте времен династии Шан, созданном, возможно, за 500 лет до этого. Как предполагает название текста, в основном в нем рассматриваются вопросы астрономии, однако есть там и некоторые предварительные указания по арифметике и геометрии. Предположительно этот труд был написан одним из многочисленных странствующих философов в период, известный как Период Сражающихся царств, в смутную эпоху вражды между династиями Чжао и Хань. Самым известным из таких философов был Конфуций — его философию единства и стабильности можно считать реакцией на те бурные времена.

Первая часть «Канона расчета чжоуского гномона» — диалог между правителем Чжоу-гуном и сановником по имени Шан Гао, в котором обсуждаются свойства прямоугольных треугольников. Там формулируется теорема Пифагора, известная как «гоугу», и дополняется геометрической иллюстрацией. Описан процесс, названный «накоплением прямоугольников», а на рисунке показано применение этого метода для треугольника со сторонами 3, 4 и 5 — самого маленького пифагорова треугольника. Распространение метода на другие длины сторон, как предполагалось, очевидно для читателя, но более общая формулировка была выполнена комментаторами, жившими в III веке нашей эры. Один из авторов, Лю Хуэй, приводит второе геометрическое доказательство теоремы, используя принцип «взаимоотклика внутреннего и внешнего»: два меньших квадрата разрезаются таким образом, чтобы выстроить больший квадрат. В числовых задачах использовалось правило roy