История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - [8]
3. Теорема Пифагора
Каждый из нас сталкивался в школе с этой теоремой. Сейчас ее называют «теоремой Пифагора», но она была широко известна в древности задолго до рождения знаменитого грека. Существование этой теоремы дает нам возможность сравнить стили математических рассуждений и основные направления работы некоторых древних математиков, относящихся к различным культурам.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух более коротких сторон равна квадрату наиболее длинной стороны. Можно построить такие треугольники с целочисленными сторонами; самый известный из них — треугольник со сторонами 3, 4, 5. Существует бесконечное множество таких, как их называют, пифагоровых треугольников, например треугольники со сторонами 5,12,13 и 7, 24, 25, которые также были известны в древности.
Одна из самых восхитительных математических таблиц Вавилона, ныне известная как «Плимптон 322», хранится в Колумбийском университете Нью-Йорка. Числа на ней расставлены в четыре столбца и пятнадцать рядов. Похоже, что это лишь часть разбитой таблицы. Теперь принято считать, что на ней описан дробный пифагоровский треугольник — источник всех последующих. Этот сложный метод означает, что вавилоняне знали теорему Пифагора уже в 1800–1650 годах до нашей эры, то есть больше чем за тысячу лет до Пифагора. Это предположение было подтверждено еще одной табличкой, найденной около Вавилона и датируемой приблизительно тем же периодом, — в настоящее время это один из самых древних примеров теоремы Пифагора. Для геометрических вычислений и решений алгебраических уравнений вавилоняне использовали линейку, хотя такая алгебра была скорее риторической, чем символической. Некоторые считают, что вавилоняне, возможно, заложили фундамент самой ранней формы тригонометрии.
Обычно истоки ведического периода индийской цивилизации относят к началу первого тысячелетия до нашей эры. В то время закладывались основы индийской культуры и религии — создавались священные тексты (такие, как «Веды» и «Упанишады»), а также правила социального поведения, например «Законы Ману». Математические знания того периода записаны в книгах «Шульба-сутры» — дополнений к «Ведам». Неудивительно, что эти памятники в основном посвящены математике, которая должна была обеспечить точность исполнения ритуалов. Термин «шульба» означает «шнур» или «веревка» — ею обычно измерялись алтари. До нас дошли три версии этих текстов, самая ранняя предположительно была написана между 800 и 600 годом до нашей эры. Упрощенная теорема Пифагора звучит там следующим образом: веревка, натянутая по диагонали квадрата, порождает квадрат, вдвое превышающий по размеру исходный квадрат. Более поздняя и более общая теорема формулируется в книге «Катьяяна»: «веревка, натянутая по диагонали прямоугольника, формирует площадь, которую совместно образуют вертикальная и горизонтальная его стороны». Никакого доказательства не приводится, но описано множество практических применений этого принципа. Существовали правила, согласно которым строились алтари. Они были совершенно однотипными и строились по одному проекту, вследствие чего геометрические методы были предпочтительнее, чем числовые. Например, если вам необходимо удвоить площадь квадрата, проще всего построить квадрат, стороны которого были бы диагональю исходного квадрата, а не тратить время на вычисление, по которому сторону нового квадрата придется увеличить на √2. У индийцев были превосходные методы вычисления √2, но по религиозным мотивам требовалась абсолютная точность — приблизительного значения было недостаточно.
Самый ранний китайский математический текст — «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона»), написанный предположительно между 500 и 200 годом до нашей эры. Он основан на тексте времен династии Шан, созданном, возможно, за 500 лет до этого. Как предполагает название текста, в основном в нем рассматриваются вопросы астрономии, однако есть там и некоторые предварительные указания по арифметике и геометрии. Предположительно этот труд был написан одним из многочисленных странствующих философов в период, известный как Период Сражающихся царств, в смутную эпоху вражды между династиями Чжао и Хань. Самым известным из таких философов был Конфуций — его философию единства и стабильности можно считать реакцией на те бурные времена.
Первая часть «Канона расчета чжоуского гномона» — диалог между правителем Чжоу-гуном и сановником по имени Шан Гао, в котором обсуждаются свойства прямоугольных треугольников. Там формулируется теорема Пифагора, известная как «гоугу», и дополняется геометрической иллюстрацией. Описан процесс, названный «накоплением прямоугольников», а на рисунке показано применение этого метода для треугольника со сторонами 3, 4 и 5 — самого маленького пифагорова треугольника. Распространение метода на другие длины сторон, как предполагалось, очевидно для читателя, но более общая формулировка была выполнена комментаторами, жившими в III веке нашей эры. Один из авторов, Лю Хуэй, приводит второе геометрическое доказательство теоремы, используя принцип «взаимоотклика внутреннего и внешнего»: два меньших квадрата разрезаются таким образом, чтобы выстроить больший квадрат. В числовых задачах использовалось правило roy
![Дажьбог - прародитель славян](/storage/book-covers/6e/6ee252dd5251ca10357b1b97c6c9db0f75612887.jpg)
У наших далеких предков уже на самой заре истории был миф, и миф этот был столь всеобъемлющ, что пронизал почти все стороны материальной и духовной жизни и в конечном итоге сформировал уникальное мировоззрение. Миф этот был о Дажьбоге и о происхождении от него великого племени славян. Наши предки твердо знали, как и для чего рождены на Земле, каковы их истинная сущность и подлинное предназначение. Миф давал им целостную систему мирочувствования и указывал направление движения, наполнял жизнь высшим смыслом.
![Предвидение науки и пророчества религии (Наука и религия о предвидении будущего)](/storage/book-covers/69/694a9e30c05a3fa1e754f84ee68ff108e13dc137.jpg)
Наряду с действительным знанием в сознании людей возникало немало и ошибочных догадок, фантастических вымыслов в объяснении различных явлений. Таким искаженным отражением окружающей первобытного человека действительности явилась религия.
![Вулканы Ставрополья](/storage/book-covers/60/609f3d36946cd389c6ebd130e16ff464b0fb9198.jpg)
Второе, переработанное и дополненное, издание книги, удостоенной в 1955 году второй премии на конкурсе на лучшую научно-художественную и научно-популярную книгу для детей. Рассказ о природе Ставрополья, ее красоте и богатстве, о возможностях изысканий и открытий в природе родного края. Книга содержит интересные загадочные рассказы, викторины, удивительные рассказы о природе. Она учит любить и охранять природу, воспитывает навыки исследования и успешного использования природных богатств края.
![Удивительные истории о существах самых разных](/storage/book-covers/62/62d00260dfa0ec0190524a3cc81fdd87fc4e60a3.jpg)
На нашей планете проживает огромное количество видов животных, растений, грибов и бактерий — настолько огромное, что наука до сих пор не сумела их всех подсчитать. И, наверное, долго еще будет подсчитывать. Каждый год биологи обнаруживают то новую обезьяну, то неизвестную ранее пальму, то какой-нибудь микроскопический гриб. Плюс ко всему, множество людей верят, что на планете обитают и ящеры, и огромные мохнатые приматы, и даже драконы. О самых невероятных тайнах живых существ и организмов — тайнах не только реальных, но и придуманных — и рассказывает эта книга.Петр Образцов — писатель, научный журналист, автор многих научно-популярных книг.
![Виролюция](/storage/book-covers/79/7900485eb317f96931948c706cedc91a7d206295.jpg)
Основная идея этой книги шокирует. Все живое на планете, в том числе люди, живут в симбиозе с вирусами, эволюционируют вместе с ними и благодаря им… выживают. Первая реакция читателя: этого не может быть! Но, оказывается, может… Вирусы, их производные и тесно связанные с ними структуры составляют как минимум сорок три процента человеческого генома, что заставляет сделать вывод: естественный отбор у человека и его предков происходил в партнерстве с сотнями вирусов. Но как вирусы встроились в человеческий геном? Как естественный отбор работает на уровне вирус-носитель? Как взаимодействуют движущие силы эволюции — мутации, симбиогенез, гибридизация и эпигенетика? Об этом — логичный, обоснованный научно и подкрепленный экспериментальными данными рассказ Фрэнка Райана.Книга изготовлена в соответствии с Федеральным законом от 29 декабря 2010 г.
![Чудесная жизнь клеток: как мы живем и почему мы умираем](/storage/book-covers/7a/7afc6aef13b6d5988ad8e4f8c607497370804474.jpg)
Что мы знаем о жизни клеток, из которых состоим? Скорее мало, чем много. Льюис Уолперт восполнил этот пробел, рассказав о клетках доступным языком, — и получилась не просто книга, а руководство для понимания жизни человеческого тела. Как клетки зарождаются, размножаются, растут и приходят в упадок? Как они обороняются от бактерий и вирусов и как умирают? Как злокачественные клетки образуют опухоли? Какую роль во всем этом играют белки и как структуру белков кодируют ДНК? Как воспроизводятся стволовые клетки? Как, наконец, из одной-единственной клетки развивается человек? И главный вопрос, на который пока нет однозначного ответа, но зато есть гипотезы: как появилась первая клетка — и значит, как возникла жизнь? Мир клеток, о котором рассказывается в этой книге, невероятен.Льюис Уолперт (р.
![Тринадцать вещей, в которых нет ни малейшего смысла](/storage/book-covers/f9/f9aa629255f7a43f25f583f2c58079204814e8e1.jpg)
Нам доступны лишь 4 процента Вселенной — а где остальные 96? Постоянны ли великие постоянные, а если постоянны, то почему они не постоянны? Что за чертовщина творится с жизнью на Марсе? Свобода воли — вещь, конечно, хорошая, правда, беспокоит один вопрос: эта самая «воля» — она чья? И так далее…Майкл Брукс не издевается над здравым смыслом, он лишь доводит этот «здравый смысл» до той грани, где самое интересное как раз и начинается. Великолепная книга, в которой поиск научной истины сближается с авантюризмом, а история научных авантюр оборачивается прогрессом самой науки.