Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни [заметки]
1
Английское слово shortcut, центральное в этой книге, не имеет точного аналога в русском языке. Его часто переводят выражением «короткий путь», но оно не вполне передает нужное значение. Такой путь далеко не всегда бывает физически более коротким: он может быть более быстрым, более легким, более удобным и т. д. Поэтому кажется целесообразным использовать в переводе этой книги слово «шорткат», уже существующее (особенно в контексте информатики), хотя еще и не вполне закрепившееся, в русском языке. – Здесь и далее, если не указано иное, примеч. перев.
2
Историческая достоверность этого эпизода небесспорна: в точности то же самое рассказывают, например, о Лобачевском и о Спинозе. Это, однако, нисколько не умаляет ни гениальности всех этих мыслителей, ни изящества решения.
3
При заданном объеме.
4
Еще одно богатое значениями английское слово, которое, кажется, лучше позаимствовать, чем передавать многословными выражениями. В зависимости от контекста оно может означать рисунок, узор, канву, выкройку, шаблон, систему, характер, закономерность и т. д. Трудность перевода слова pattern на другие языки обсуждается и в главе 3 этой книги.
5
Дифференциальное и интегральное исчисление.
6
Этот разговор происходит в начале 4-й главы 1-й книги трилогии.
7
The Simpsons, S06E04, Itchy & Scratchy Land (1994).
8
Из эссе «Критик как художник» (The Critic as Artist, 1891), пер. с англ. А. М. Зверева. Цит. по: Уайльд О. Собр. соч.: В 3 т. М.: Терра – Книжный клуб, 2003. Т. 3.
9
Из первого эссе серии «Бездельник» (The Idler), публиковавшейся в лондонском еженедельнике Universal Chronicle с апреля 1758 по апрель 1760 г.
10
Цит. по: Кристи А. Автобиография / Пер. с англ. В. Чемберджи, И. Дорониной. М.: Вагриус, 1999.
11
Хоум-ран (home run) – игровая ситуация, в которой отбивающий игрок успевает обежать все четыре «базы» поля, пока отбитый им мяч не окажется в руках игрока команды противника. Если ему удается отбить мяч за пределы поля, хоум-ран засчитывается автоматически.
12
Легко заметить, что эти слова родственны русским «практика» и «поэзия». В классификации Аристотеля был и третий вид деятельности – теория (θεωρία), то есть деятельность, направленная на познание истины.
13
Цит. по: Маркс К. Критика Готской программы // Избранные произведения: В 2 т. / Под ред. М. Б. Митина. М.: ОГИЗ, Государственное издательство политической литературы, 1940. Т. II. С. 453.
14
Цит. по: Маркс К. Капитал. Критика политической экономии. / Пер. с нем. И. И. Степанова-Скворцова, испр. и доп. Т. 3. Ч. 1 и 2. М.: Государственное издательство политической литературы, 1951. С. 833.
15
Интересно отметить, что Бартельс был учителем не только Гаусса, но и Н. И. Лобачевского: с 1808 по 1820 г. он служил профессором Казанского университета.
16
По-русски чаще говорят об изобретении велосипеда. Однако многое из того, о чем говорится в этой книге, произошло задолго до этого изобретения – так что тут, видимо, имеет смысл воспроизвести английскую идиому дословно.
17
Имя графа в оригинале – Count von Count – обыгрывает существующую в английском омонимию слов «граф» (count) и «[под]счет» (count).
18
Подробнее о вопросах масштабирования и исследованиях Уэста можно прочитать в его книге: Уэст Дж. Масштаб: Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний / Пер. с англ. Д. А. Прокофьева. М.: Азбука Бизнес, Азбука-Аттикус, 2018.
19
Идти (фр.).
20
Другое широко применяющееся обозначение – C>2>8 («C из 8 по 2»).
21
Табла – небольшой парный барабан, используемый в традиционной североиндийской музыке.
22
Числа, образующие треугольник Паскаля, – это упомянутые выше биномиальные коэффициенты C>m>n. Вот их общая формула:
23
Русское издание: Гладуэлл М. Гении и аутсайдеры: Почему одним все, а другим ничего / Пер. с англ. О. Галкина. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2019.
24
Из книги «Flow: The Psychology of Optimal Experience» (1990), цит. по: Чиксентмихайи М. Поток: Психология оптимального переживания / Пер. с англ. Е. Перовой. М.: Смысл: Альпина нон-фикшн, 2011.
25
Если речь идет о десятичных логарифмах, т. е. логарифмах по основанию 10. В общем случае основанием логарифма может быть любое число. Кроме десятичных широко используются, например, логарифмы двоичные (по основанию 2) и натуральные, основанием которых служит число Эйлера e (2,71828…).
26
Royal Society of London for Improving Natural Knowledge (Лондонское королевское общество по развитию знаний о природе) – одно из старейших в мире научных обществ, создано в 1660 г.
27
Tartaglia – «заика» (ит.).
28
«Великое искусство» (лат.). Полное название книги – Artis magnæ, sive De regulis algebraicis («Великое искусство, или О правилах алгебры»).
29
Строго говоря, комплексными называются числа, которые можно представить в виде a + bi, где a и b – вещественные числа, а i – мнимая единица.
30
Более точная формулировка этой теоремы такова: «Любой отличный от константы многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел». Вещественные числа считаются в этом контексте частным случаем комплексных (с нулевой мнимой частью).
31
В математической литературе чаще всего встречается название «комплексная плоскость».
32
Поль Пенлеве был премьер-министром Франции с 12 сентября по 13 ноября 1917 г. и с 17 апреля по 22 ноября 1925 г. Кроме этого, он в разное время побывал министром военно-воздушных сил, министром финансов, военным министром, министром просвещения и председателем палаты депутатов (нижней палаты парламента) Третьей республики.
33
Прибор Хюльсмайера назывался «телемобилоскоп» (Telemobiloskop).
34
>1 «Фабрика основателей» (англ.).
35
>2 Название компании образовано от англ. словосочетания last minute (последняя минута).
36
Компания и одноименная социальная сеть, деятельность которых в РФ запрещена. – Примеч. ред.
37
Ричард Брэнсон – основатель корпорации Virgin Group, первыми предприятиями которой были музыкальный магазин и фирма звукозаписи Virgin Records.
38
Потому что у английских существительных нет грамматического рода. Интересно отметить, что этот нюанс теряется и в самом известном русском переводе этого произведения, стихотворении «На севере диком стоит одиноко…» М. Ю. Лермонтова (1841), хотя в русском языке грамматический род вполне существует. Зато, например, в переводах Ф. И. Тютчева («На севере мрачном, на дикой скале…», 1827) и А. А. Фета («На севере кедр одинокий…», 1841) сосна заменена кедром – возможно, именно ради его мужского рода.
39
Книг с такими – или близкими – названиями существует несколько, но в данном случае речь, видимо, идет о книге Land Frank William. The Language of Mathematics. Ее первое издание вышло в 1960 г.
40
Цит. по: Галилей Г. Пробирных дел мастер / Пер. с ит. Ю. А. Данилова. М.: Наука, 1987.
41
Или двух, если год високосный.
42
Причем далеко не сразу: Декарт умер в 1650 г., а его родной город Ла-Э-ан-Турен (La Haye en Touraine) был переименован в Ла-Э-Декарт (La Haye-Descartes) в 1802 г., а в Декарт (Descartes) – только в 1967-м.
43
В письме к Бесселю от 14 марта 1824 г.; геодезические съемки он проводил в 1820–1822 гг.
44
Португальский мореплаватель Бартоломеу Диаш впервые обогнул мыс Доброй Надежды – южную оконечность Африки – и вышел в Индийский океан весной 1488 г. Однако до Индии первым дошел другой португалец, Васко да Гама, и было это лишь в 1498 г.
45
Неизвестно, был ли аль-Фергани персом или арабом. Он предположительно родился в Ферганской долине в нынешнем Узбекистане, а впоследствии жил в Багдаде (где работал в уже упоминавшемся «Доме мудрости») и Каире.
46
Соответственно 1480 и 2161 м.
47
Насколько известно, первый канал, соединявший Нил с Красным морем («Канал фараонов»), был построен еще во втором тысячелетии до нашей эры. Впоследствии его и другие каналы неоднократно восстанавливали или строили заново, в том числе при персидском царе Дарии I (VI–V вв. до н. э.), при египетском царе Птолемее II Филадельфе (III в. до н. э.), при римском императоре Траяне (I–II вв. н. э.) и после арабского завоевания Египта (VII в. н. э.). Остатки одного из этих каналов обнаружили в 1798 г. археологи, участвовавшие в египетской экспедиции Наполеона.
48
Впоследствии «Ньюпорт» несколько раз был перепродан и менял названия. В 1912 г. судно купил российский полярный исследователь Г. Л. Брусилов, давший ему название «Святая Анна». В конце лета того же года «Святая Анна» вышла в экспедицию по Северному морскому пути и пропала без вести в 1914 г. с 13 членами экипажа, включая самого Брусилова. Участники этой экспедиции послужили прототипами персонажей романа «Два капитана» В. Каверина.
49
В 1519–1522 гг.
50
То есть находится в первой или третьей четверти. На приведенной далее схеме Луна изображена в первой четверти (растущей).
51
Ныне пролив Дарданеллы, или Чанаккале.
52
То есть его катетов.
53
Английское слово foot и означает «ступня». Разумеется, в других языках эта единица измерения называлась по-другому – например, немецкое Fuß, французское pied, польское stopa и т. п.
54
Например, французское pouce, словацкое palec или голландское duim – от которого и происходит русское слово «дюйм». Английское же inch, как и слово ounce («унция»), происходит от латинского uncia, означающего двенадцатую часть.
55
Серединой эту точку можно назвать лишь условно: Родез почти в два раза дальше от Дюнкерка, чем от Барселоны.
56
Видимо, имеется в виду район Бель-Ассиз города Клермона.
57
Уиквесгик (Wecquaesgeek, правописание варьируется) – название одной из групп в составе индейского племени ваппингеров.
58
Соответственно cow path и elephant trail. В русском языке чаще встречается приблизительно того же смысла выражение «козья тропа».
59
Также известного математика и поэта Фаркаша Бойяи.
60
Около 4,8 км/ч.
61
Пер. с фр. М. Н. Розанова. Цит. по: Руссо Ж.-Ж. Исповедь // Библиотека всемирной литературы. М.: Эксмо, 2011.
62
После войны Мюррей издал записи, сделанные таким образом в лагере, в виде книги «Альпинизм в Шотландии» (Mountaneering in Scotland, 1947).
63
The Living Mountain – самое известное произведение Шеперд, книга воспоминаний, написанная в 1940-х гг., но опубликованная только в 1977-м.
64
Цит. с уточнениями по: Кавелти Дж. Г. Изучение литературных формул / Пер. с англ. Е. М. Лазаревой // Новое литературное обозрение. 1996. № 22. С. 33–64.
65
Боулдеринг (англ. bouldering, от boulder – «валун») – одна из дисциплин в спортивном скалолазании, восхождение по коротким и технически сложным трассам.
66
Фри-соло – одиночное восхождение в свободном стиле – без устанавливаемых на скале приспособлений, облегчающих подъем.
67
То есть метров на 60.
68
Социальная сеть, деятельность которой в РФ запрещена. – Примеч. ред.
69
Сейчас Ускюдар, район в азиатской части Стамбула.
70
Или круговой гистограммой.
71
Пер. с англ. А. А. Москательникова, не издан.
72
От др. – гр. λοξός – «косой», «наклонный» и δρόμος – «путь».
73
…а другим концом, разумеется, – к Южному.
74
Как и на нижнем.
75
Все четыре станции находятся в центральной части линии Пикадилли.
76
А также диаграммами связей или ассоциативными картами.
77
Обычно их называют структурными формулами.
78
Речь, разумеется, идет о валентности соответствующих атомов.
79
А также в разное время в Париже, Гейдельберге, Генте и Бонне.
80
Речь идет соответственно о бензойном альдегиде (C>7H>6O) и коричном альдегиде (C>9H>8O).
81
Watson J., Crick F. Molecular Structure of Nucleic Acids: A Structure for Deoxyribose Nucleic Acid. Nature 171, 737–738 (1953).
82
Точнее говоря, изображена реакция, в которой электрон (e>–) и позитрон (e>+) аннигилируют с образованием фотона (γ), из которого затем рождается новая электрон-позитронная пара.
83
Слово «глюон» образовано от англ. glue – «клей».
84
Изобретение сходных диаграмм приписывают и Леонарду Эйлеру, жившему на сто с лишним лет раньше Венна. Собственно говоря, сам Венн называл свои диаграммы эйлеровыми кругами (Eulerian Circles).
85
Oxfam (от Oxford Committee for Famine Relief – Оксфордский комитет помощи голодающим) – объединение благотворительных организаций, борющееся с бедностью и ее последствиями во всем мире.
86
Пер. с англ. Е. Шраги. Цит. по: Бергер Дж. Искусство видеть. СПб.: Клаудберри, 2012.
87
То есть скорость, необходимую для выхода на замкнутую околоземную орбиту, равную в данном случае 7,91 км/с. Вторая космическая скорость (для Земли – 11,2 км/с) позволяет выйти на орбиту параболическую, то есть незамкнутую и дающую возможность удалиться на сколь угодно большое расстояние от планеты. Для преодоления притяжения Солнца и выхода за пределы Солнечной системы необходимо набрать третью космическую скорость (16,65 км/с относительно Земли).
88
Точнее, gt>2/2, где g – ускорение свободного падения (прибл. 9,8 м/с>2).
89
Эйзенштейн был на 46 лет моложе Гаусса, но умер от туберкулеза на три года раньше его, в возрасте 29 лет.
90
Об этом обстоятельстве важно помнить в дальнейших выкладках: изгородь образует не замкнутый прямоугольник, а букву П, ограничивая три стороны участка – кроме той, которая обращена к морю.
91
Таково традиционное русское написание его фамилии (Wallis), устоявшееся, в частности, в математике, например в названии формулы Валлиса. Более точная транскрипция – Уоллис.
92
Название «Grand National» отсылает к одноименным барьерным скачкам, ежегодно проводящимся в Ливерпуле с 1839 г. (более распространенное русское название – Ливерпульский стипль-чез).
93
Автором этого афоризма, который Ньютон цитирует в письме к Гуку, обычно считают французского философа XI–XII вв. Бернара Шартрского.
94
«Сделай» (англ.).
95
Ready-made (англ. «готовое») – термин, которым дадаисты и сюрреалисты называли свои работы, созданные из нехудожественных объектов. К этому жанру относятся, например, знаменитые произведения Дюшана «Велосипедное колесо» и «Фонтан».
96
Это не вполне точно. Рекламный лозунг Whiskas гласил: «8 из 10 владельцев кошек сказали, что их кошки предпочитают этот корм». Более того, впоследствии он был изменен по требованию Комитета по стандартам рекламы на «8 из 10 владельцев кошек, высказавших предпочтение, сказали, что их кошки предпочитают этот корм». Однако искаженный вариант «8 из 10 кошек» стал расхожим выражением – в частности, так (8 Out of 10 Cats) называется популярная юмористическая телепередача.
97
1197 фунтов – 542,95 кг, 1198 фунтов – 543,4 кг, 1 фунт – 453,6 г.
98
В российском варианте игры приз составляет 3 млн рублей.
99
Это была лекция в формате TED Talk одного из авторов работы, Мариано Сигмана. См.: Navajas J., Niella T., Garbulsky G., Bahrami B. & Sigman M. (2018). Aggregated knowledge from a small number of debates outperforms the wisdom of large crowds. Nature Human Behaviour, 2 (2), 126–132.
100
Cardamone C. et al. (2009). Galaxy Zoo Green Peas: discovery of a class of compact extremely star-forming galaxies. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 399(3), 1191–1205.
101
Роджер Котс (1682–1716) и сам был выдающимся математиком. В частности, он тесно сотрудничал с Ньютоном (он редактировал второе издание «Начал») и открыл квадратурные формулы Ньютона – Котса и формулу Эйлера в логарифмическом виде, а также ввел в употребление радианную меру углов.
102
Около 290 км.
103
См.: Bennett C., Miller M. & Wolford G. (2009). Neural correlates of interspecies perspective taking in the post-mortem Atlantic Salmon: an argument for multiple comparisons correction. NeuroImage, 47. S125.
104
Здесь и далее цитаты из Пипса приводятся с небольшими уточнениями по: Пипс С. Домой, ужинать и в постель. Из дневника / Пер. с англ. А. Я. Ливерганта. М.: Текст, 2010.
105
Конкретные месяцы, разумеется, зависят от правил приема в школу, действующих в данной стране. Например, в России в первый класс принимаются дети в возрасте от 6,5 до 8 лет, а во Франции в первый класс начальной школы идут все дети, которым исполняется 6 лет в текущем календарном году.
106
Hop bet – «прыжковая ставка».
107
На колесе рулетки американского типа есть и еще одно «зеленое число» – двойное зеро (00).
108
Кроме поставивших на зеро.
109
При наличии двойного зеро ставка на красное выигрывает в 18, а проигрывает в 20 случаях из 38, и преимущество заведения оказывается почти в два раза больше: 2/38 ≈ 0,053, то есть 5,3 %.
110
Подробнее о системе Торпа и о том, как он применял ее в казино Невады, рассказывается в его книге Beat the Dealer (1966). Русское издание: Торп Э. Обыграй дилера: Победная стратегия игры в блэкджек / Пер. с англ. Д. А. Прокофьева. М.: КоЛибри, Азбука-Аттикус, 2017.
111
Этот труд был издан в 1713 г., уже после смерти Бернулли, скончавшегося в 1705 г.
112
Николай Бернулли был племянником Якоба и Иоганна. Его отец, тоже Николай, и опубликовал упомянутую выше книгу Якоба.
113
Даниил был сыном Иоганна Бернулли.
114
Эту задачу часто называют парадоксом Монти Холла по имени ведущего игры.
115
Стоит отметить, что Пипс, служивший в Адмиралтействе, также был членом Королевского общества и даже его президентом в 1684–1688 гг., именно в то время, когда были опубликованы «Начала» Ньютона.
116
В разработке этого прибора (который считается одним из первых носимых компьютеров – дело было в 1961 г.) и его испытаниях в казино участвовал вместе с Торпом создатель теории информации Клод Шеннон.
117
Река в то время тоже носила немецкое название – Прегель (Pregel).
118
Подробнее о концепции Тверски и Канемана можно прочитать, например, в книге Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases (1982). На русском языке: Канеман Д., Словик П., Тверски А. Принятие решений в неопределенности: Правила и предубеждения / Пер. с англ. Харьков: Гуманитарный центр, 2005.
119
Русское издание: Канеман Д. Думай медленно… решай быстро / Пер. с англ. А. Андреева, Ю. Деглиной и Н. Парфенова. М.: АСТ, 2014.
120
Официальное название этого моста – Юбилейный, т. к. он был открыт в 2005 г. к 750-летнему юбилею города. Кайзеровским (Kaiserbrücke) назывался бывший на его месте мост, построенный в 1905 г. и разрушенный во время войны.
121
Довольно часто встречается более дословный перевод английского названия этой концепции (six degrees of separation) – «шесть степеней разделения» (отчуждения и т. п.).
122
Watts D., Strogatz S. Collective dynamics of «small-world» networks. Nature, 393. 440–442 (1998).
123
Речь идет об эссе Берлина The Hedgehog and the Fox (1953). Русское издание: Берлин И. Еж и лисица // Подлинная цель познания. Избранные эссе / Пер. с англ. и комментарии В. В. Сапова. М.: Канон+, 2002.
124
Справочник назывался «Коммивояжер – каким он должен быть и что делать, чтобы получать заказы и быть уверенным в успехе своих предприятий» (Der Handlungsreisende wie er sein soll und was er zu thun hat, um Aufträge zu erhalten und eines glücklichen Erfolgs in seinen Geschäften gewiß zu sein).
125
Этот список «важных классических задач, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет», был опубликован в 2000 г. Математическим институтом Клэя. Из семи задач пока что решена только одна – задача о доказательстве гипотезы Пуанкаре, которое нашел в 2002 г. Г. Я. Перельман. Задача коммивояжера сама по себе не входит в список Задач тысячелетия, но в нем есть более общая проблема равенства классов сложности P и NP (о которых говорится ниже).
126
Речь, разумеется, идет о латинском алфавите. В кириллице насчитывается 33! таких способа.
127
В русском языке самая частотная буква – о (11 процентов), а вторая по частотности – е (8,5 процента).
128
От др. – греч. αἴνιγμα – «загадка».
129
По фамилиям создателей этого алгоритма – Rivest, Shamir и Adleman.
130
Пер. с лат. В. Б. Демьянова. Цит. по: Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М.: Издательство Академии наук СССР, 1959.
131
Arute F., Arya K., Babbush R. et al. (2019). Quantum supremacy using a programmable superconducting processor. Nature 574, 505–510.
132
Test tube (англ.) – «пробирка».
133
Их названия – соответственно аденин, тимин, цитозин и гуанин.
134
Точнее – число Авогадро 6,02214076 × 10>23.
135
По состоянию на 20 июля 2021 г. – уже 574 человека.
