Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - [30]
Только когда мой учитель мистер Бейлсон дал мне почитать книгу под названием «Язык математики»[39], я начал понимать, что математика – тоже язык. Я думаю, он не только видел, что я жажду найти язык без неправильных глаголов, в котором все правильно и логично, но и понимал, что меня не сможет не увлечь способность этого языка описывать окружающий меня мир. Из этой книги я узнал, что математические уравнения могут рассказывать историю движения планет в ночном небе, что симметрия может объяснить форму пузырьков, пчелиных сот или цветков, что числа позволяют понять гармонию музыки. Для описания Вселенной нужно было учить не русский, не немецкий, не английский, а математику. А еще я узнал из «Языка математики», что математика – это не один язык, а множество языков и прекрасное средство создания словарей, переводящих с одного языка на другой для создания новых языковых шорткатов.
История математики помнит множество великолепных моментов такого рода.
Математическая грамматика
Объяснение многих из паттернов, которые я показывал вам до этого момента, опирается на поразительный математический шорткат – алгебру. Секрет алгебры заключается в том, что она позволяет перейти от частного к общему. Это означает, что при рассмотрении каждого конкретного случая не требуется прокладывать новый путь. Можно не рассматривать по отдельности каждое число, а взять букву х и объявить, что она обозначает любое число.
Позвольте показать вам маленький фокус: задумайте число. Удвойте его. Прибавьте 14. Разделите результат на 2. Вычтите число, которое вы задумали с самого начала. Я гарантирую, что теперь у вас получилось число 7. Мы использовали этот фокус в начале пьесы «Исчезающее число», авторов которой я консультировал. Пьеса рассказывала о сотрудничестве индийского математика Сринивасы Рамануджана с кембриджским математиком Г. Г. Харди. Меня всегда поражало, в какое изумление этот фокус каждый вечер приводил публику – как будто мы волшебным образом читали мысли зрителей. На самом деле тут, разумеется, работает не волшебство, а математика. Ключ к пониманию того, каким именно математическим трюком вас обманули, заключается в идее алгебры.
Алгебра – это грамматика, лежащая в основе поведения чисел. Она чем-то похожа на программный код: алгебра работает независимо от того, какие числа вы вводите в программу.
Алгебру разработал руководитель багдадского Дома мудрости Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Дом мудрости, основанный в 810 году, был главным интеллектуальным центром своего времени и привлекал со всего мира ученых, изучавших астрономию, медицину, химию, зоологию, географию, алхимию, астрологию и математику. Исламские ученые собрали и перевели множество античных текстов, чем, по сути дела, сохранили их для потомства. Без них мы, возможно, ничего не знали бы о древних культурах Греции, Египта, Вавилона и Индии. Однако ученые, работавшие в Доме мудрости, не удовольствовались одними лишь переводами математических трудов, написанных другими. Они хотели создавать свою собственную математику. Именно это стремление к новым знаниям и привело к созданию языка алгебры.
Вы, вероятно, можете находить алгебраические паттерны и самостоятельно, даже не осознавая, что занимаетесь алгеброй. В детстве, запоминая таблицу умножения, я начал замечать некоторые любопытные паттерны, скрывающиеся за этими расчетами. Например, спросите себя, сколько будет 5 × 5. А потом посмотрите на 6 × 4. Есть ли между этими ответами какая-нибудь связь? Теперь возьмите 6 × 6 и 5 × 7. А потом 7 × 7 и 6 × 8. Надеюсь, вы уже заметили, что второй ответ каждый раз меньше первого на единицу.
Выявление таких паттернов помогало мне превращать скучное заучивание таблицы умножения в нечто чуть более интересное. Эти паттерны открыли мне шорткат в обход зубрежки, часто требуемой в школе. Но действует ли этот паттерн всегда? Если я возведу в квадрат произвольное число, будет ли результат всегда на единицу больше произведения чисел, стоящих по обе стороны от исходного?
Я попытался описать этот паттерн словами, но в IX веке в Ираке был создан новый математический язык – язык алгебры, – позволяющий выразить ее более ясно. Пусть х – произвольное число. Тогда результат возведения х в квадрат будет на 1 больше, чем произведение (х – 1) на (х + 1). Или, если написать алгебраическую формулу,
x>2 = (x – 1)(x + 1) + 1.
Такой алгебраический язык также позволил математикам показать, почему этот паттерн остается справедливым, какое бы число вы ни выбрали. Если раскрыть скобки в выражении (х – 1)(х + 1), получится х>2 – х + х – 1 = х>2 – 1. Прибавим к этому 1 и получим просто х>2.
Этот же подход – использование x вместо произвольного числа – позволяет понять и тот простой фокус, в котором вы получили число 7. Нужно всего лишь перевести операции на язык алгебры.
Задумайте число: x.
Удвойте его: 2 x.
Прибавьте 14: 2 x + 14.
Разделите на 2: x + 7.
Вычтите исходно задуманное число: x + 7 – x = 7.
И у вас действительно получается число 7.
Суть в том, что это работает всегда, какое бы число вы ни задумали, – даже если вы решили схитрить и задумали мнимое число! Вот еще один фокус, которому научил меня мой друг, математический фокусник Артур Бенджамин. Ключ к пониманию механизма этого фокуса дает алгебра. Бросьте две игральные кости. Перемножьте два выпавших числа. Перемножьте числа, оказавшиеся на нижних гранях костей. Затем умножьте верхнее число первой кости на нижнее число второй. А потом нижнее число первой кости на верхнее число второй. Наконец, сложите все четыре полученных числа. Результат всегда будет равен 49. Бенджамин использует здесь то удобное обстоятельство, что числа на противоположных гранях игральной кости всегда дают в сумме 7. В сочетании с небольшими алгебраическими выкладками из этого следует, что ответ всегда равен 49, то есть 7 в квадрате.
Знаменитый оксфордский профессор и популяризатор науки Маркус дю Сотой исследует природу творчества, освещая наиболее важные аспекты работы алгоритмов и математических правил, которые лежат в их основе. Он задается вопросом, насколько наш эмоциональный отклик на произведения искусства обусловлен реакцией мозга на закономерности и структуры и что именно означает заниматься творчеством в математике, изобразительном искусстве, литературе и музыке. На основе ярких примеров того, как «поверяется алгеброй гармония» мировых шедевров, среди которых «Евгений Онегин» Пушкина, «Песнь льда и пламени» Джорджа Р.
«Хотя эта книга посвящена тому, чего мы знать не можем, также очень важно понять, что мы знаем. В этом путешествии к пределам знаний мы пройдем через области, уже нанесенные учеными на карты, до самых пределов последних на сегодняшний день достижений науки. В пути мы будем задерживаться, чтобы рассмотреть те моменты, когда ученые считали, что зашли в тупик и дальнейшее продвижение вперед невозможно, но следующее поколение исследователей находило иные пути. Это позволит нам по-новому взглянуть на то, что мы сегодня можем считать непознаваемым.
«Умение математиков заглядывать в будущее наделило тех, кто понимает язык чисел, огромным могуществом. От астрономов древних времен, способных предсказать движения планет в ночном небе, до сегодняшних управляющих хедж-фондами, прогнозирующих изменения цен на фондовом рынке, – все они использовали математику, чтобы постичь будущее. Сила математики в том, что она может гарантировать стопроцентную уверенность в свойствах мира». Маркус дю Сотой Профессор математики Оксфордского университета, заведующий кафедрой Симони, сменивший на этой должности Ричарда Докинза, Маркус дю Сотой приглашает вас в незабываемое путешествие по необычным и удивительным областям науки, лежащей в основе каждого аспекта нашей жизни. В формате pdf A4 сохранен издательский дизайн.
Послевоенные годы знаменуются решительным наступлением нашего морского рыболовства на открытые, ранее не охваченные промыслом районы Мирового океана. Одним из таких районов стала тропическая Атлантика, прилегающая к берегам Северо-западной Африки, где советские рыбаки в 1958 году впервые подняли свои вымпелы и с успехом приступили к новому для них промыслу замечательной деликатесной рыбы сардины. Но это было не простым делом и потребовало не только напряженного труда рыбаков, но и больших исследований ученых-специалистов.
Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.
Монография посвящена проблеме самоидентификации русской интеллигенции, рассмотренной в историко-философском и историко-культурном срезах. Логически текст состоит из двух частей. В первой рассмотрено становление интеллигенции, начиная с XVIII века и по сегодняшний день, дана проблематизация важнейших тем и идей; вторая раскрывает своеобразную интеллектуальную, духовную, жизненную оппозицию Ф. М. Достоевского и Л. Н. Толстого по отношению к истории, статусу и судьбе русской интеллигенции. Оба писателя, будучи людьми диаметрально противоположных мировоззренческих взглядов, оказались “versus” интеллигентских приемов мышления, идеологии, базовых ценностей и моделей поведения.
Монография протоиерея Георгия Митрофанова, известного историка, доктора богословия, кандидата философских наук, заведующего кафедрой церковной истории Санкт-Петербургской духовной академии, написана на основе кандидатской диссертации автора «Творчество Е. Н. Трубецкого как опыт философского обоснования религиозного мировоззрения» (2008) и посвящена творчеству в области религиозной философии выдающегося отечественного мыслителя князя Евгения Николаевича Трубецкого (1863-1920). В монографии показано, что Е.
Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.
Что такое, в сущности, лес, откуда у людей с ним такая тесная связь? Для человека это не просто источник сырья или зеленый фитнес-центр – лес может стать местом духовных исканий, служить исцелению и просвещению. Биолог, эколог и журналист Адриане Лохнер рассматривает лес с культурно-исторической и с научной точек зрения. Вы узнаете, как устроена лесная экосистема, познакомитесь с различными типами леса, характеризующимися по составу видов деревьев и по условиям окружающей среды, а также с видами лесопользования и с некоторыми аспектами охраны лесов. «Когда видишь зеленые вершины холмов, которые волнами катятся до горизонта, вдруг охватывает оптимизм.
Канадский ученый, эколог и политолог Вацлав Смил знаменит своими работами о связи энергетики с экологией, демографией и реальной политикой, а также виртуозным умением обращаться с большими массивами статистических данных. Эта книга, которая так восхитила Билла Гейтса, обобщает самые интересные материалы, которые Смил пишет для журнала IEEE Spectrum – одного из ведущих научно-инженерных изданий мира, и представляет собой актуальное руководство для понимания истинного положения дел на нашей планете.
Наша сегодняшняя жизнь перенасыщена информацией, однако большинство людей все же не знают, как на самом деле устроен наш мир. Эта книга освещает основные темы, связанные с обеспечением нашего выживания и благополучия: энергия, производство продуктов питания, важнейшие долговечные материалы, глобализация, оценка рисков, окружающая среда и будущее человека. Поиск эффективного решения проблем требует изучения фактов — мы узнаем, например, что глобализация не была неизбежной и что наше общество все сильнее зависит от ископаемого топлива, поэтому любые обещания декарбонизации к 2050 году — не более чем сказка.
Сочинение итальянского дипломата, писателя и поэта Бальдассаре Кастильоне (1478–1529) «Придворный», соединяющее воспоминания о придворной жизни герцогства Урбино в начале XVI века с размышлениями о морали, предназначении, стиле поведения дворянина, приближенного к государю, – одна из тех книг эпохи Возрождения, что не теряли популярности на протяжении последующих веков и восхищали блестящие умы своего и будущих столетий. Для истории культуры труд Кастильоне явился подлинной сокровищницей, и сложно представить, насколько более скудными оказались бы знания потомков об эпохе Возрождения, не будь он создан. Составленное в виде сборника занимательных и остроумных бесед, это ярко и непринужденно написанное произведение выходит за рамки источника сведений о придворных развлечениях своего времени и перечня достоинств совершенного придворного как всесторонне образованного и утонченно воспитанного человека, идеального с точки зрения гуманистических представлений.
«Эта книга посвящена захватывающей и важной для любого человека теме – осознанию себя как части общества и рассмотрению самого феномена общества под лупой эволюционных процессов в животном мире. Марк Моффетт сравнивает человеческое общество с социальными образованиями общественных насекомых, и эти сравнения вполне уместны. И его последующий интерес к устройству социальных систем у широкого круга позвоночных, от рыб до человекообразных обезьян, не случаен. Как эволюциониста, его интересы связаны с выявлением причин и факторов, влияющих на трансформации социального поведения у разных таксонов, роли экологии в усложнении общественных связей, с поиском связей между морфологическими и психологическими преобразованиями, в конечном итоге приведших к возникновению нашего вида.