Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - [32]

Такой геометрический шорткат к решению – это, по сути дела, тот же прием образования пар чисел, который использовал Гаусс, но слегка замаскированный. Но геометрическая точка зрения позволяет мне создать простую формулу для вычисления любого члена этой последовательности. Если мне нужно n-е треугольное число, я составляю вместе два треугольника и получаю прямоугольник размерами n × (n + 1). Теперь просто делим на 2 и находим число подарков в треугольнике: 1/2  × n × (n + 1).

Каково же суммарное количество подарков, которые я получаю по прошествии каждого дня? Вот как выглядит эта растущая сумма начиная с первого дня:

1, 4, 10, 20, 35, 56 …

Каждое следующее число получается прибавлением очередного треугольного числа. Скажем, чтобы найти седьмое, нужно прибавить к предыдущему числу седьмое треугольное число. Поскольку седьмое треугольное число – 28, седьмой член нашей последовательности равен 56 + 28 = 84. Но нет ли еще более удобного шортката, чтобы добраться до двенадцатого члена, общего числа подарков за все рождественские праздники, без последовательного сложения треугольных чисел?

Здесь нужно еще раз перейти от чисел к геометрии. Представим себе, что все подарки приходят в коробках одинакового размера. Тогда можно составлять из полученных коробок не треугольник, а пирамиду с треугольным основанием. На ее вершине будет одна коробка, в которой находится одна куропатка на грушевом дереве. На один ярус ниже коробок уже три: одна с куропаткой и две с голубками. Каждый день приходят все новые подарки, и я добавляю их к низу пирамиды. Дает ли такой переход от чисел к геометрическим фигурам возможность понять, сколько всего коробок в пирамиде?

Как это ни удивительно, дает. Если из двух треугольников можно сложить прямоугольник, из шести пирамид одного и того же размера можно образовать прямоугольный штабель коробок. (Чтобы это получилось, вам придется слегка сдвинуть подарки, сложенные в каждую из пирамид.) Если в пирамиде n ярусов, то размеры такой прямоугольной конструкции будут n × (n + 1) × (n + 2). Но она составлена из шести пирамид. Значит, формула количества подарков в каждой отдельной пирамиде будет такой:

1/6  × n × (n + 1) × (n + 2).

Сколько же всего подарков я получу от своей любви к двенадцатому дню Рождества? Подставим в формулу n = 12 и получим 1/6  × 12 × 13 × 14 = 364. То есть по подарку на каждый день года, не считая одного![41]

Рис. 3.2. Шесть пирамид составляют прямоугольный параллелепипед

Словарь Декарта

Меня всегда приводило в восторг то, как на картинке может проявиться нечто такое, чего не было видно за цифрами. Но нужно соблюдать осторожность. Иногда глаза обманывают нас. Взять, например, следующую картинку.

Рис. 3.3. При перестановке элементов фигуры в ней появляется лишняя клетка

Казалось бы, я просто поменял составляющие части квадрата местами так, чтобы из них получился аккуратный прямоугольник. Но погодите. Площадь квадрата равна 64 клеткам, а площадь прямоугольника – 65. Откуда же взялся этот довесок? На этой картинке трудно увидеть, что диагональ, пересекающая вторую фигуру, – не вполне прямая линия. Края составных частей не совсем прилегают друг к другу, что и приводит к появлению лишней клетки. Декарт, как известно, говорил: «Чувственное восприятие есть чувственный обман». С тех пор, как я увидел эту картинку, я, по-моему, никогда больше не мог полностью верить собственным глазам. Меня устраивают только строгие доказательства связей или паттернов на языке алгебры. Что, если с нечетными числами, которые я выкладывал по краям квадратов, тоже происходит нечто подобное этому хитрому фокусу?

Для разоблачения таких визуальных фокусов бывает полезно применить тот же шорткат в обратном направлении – превратить геометрические фигуры в числа. Декарт был одним из математиков, предложивших идею словаря для переводов между языком чисел и языком геометрии. Этот словарь был одним из величайших лингвистических изобретений, которые наряду с алгеброй позволяют находить шорткаты к пониманию Вселенной.

Собственно говоря, все мы хорошо знакомы с этим словарем: мы используем его, когда видим карту или навигатор GPS. Сетка, накладываемая на город или страну, позволяет мне идентифицировать любую точку на местности: два числа указывают, где эта точка расположена на сетке. Система GPS использует координатную сетку, горизонтальной осью которой служит экватор, а вертикальной – меридиан, проходящий через Гринвич.

Например, если я хочу посетить дом, в котором родился Декарт, находящийся в городе Декарт (названном так не по удивительному совпадению, а уже после его смерти[42]), попасть туда мне помогут его координаты: широта 46,9726497 и долгота 0,7000201. Любое положение на планете можно выразить при помощи двух таких чисел. Геометрия планеты переведена на язык чисел.

Декарт изложил эту плодотворную идею – применения координат для описания геометрии – в книге «Геометрия» (1637). При помощи этих чисел, называющихся теперь в честь человека, предложившего такой перевод, декартовыми (картезианскими) координатами, можно определить геометрическое положение не только на поверхности планеты, но и на любом изображении. Словарь Декарта открыл возможность перевода между геометрией и алгеброй.