Искусственный интеллект - [148]

Partiality and its Dual // Studia Logica. Vol. 65.2000. P.540.

10. Pavlov SA.Logic For Computer Reasoning // International Conference on Informatics and Control, St. Petersburg, 1997. P.496499.

ПРОГРАММА КОЛМОГОРОВА, ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ

А. С. Кузичев

Значительное место в современных исследованиях в области построения систем знаний занимают нелогические исчисления комбинаторов Шейнфинкеля-Карри и ^-конверсий Чёрча, на базе которых автором построены двухъярусные логические секвенциальные (без правила сечения) доказуемо непротиворечивые интеллектуальные системы, образующие, в частности, доказуемо непротиворечивые (как абсолютно, так и относительно отрицания 1 ) основания КМ (классической теоретико-множественной математики).

При этом одновременно решаются две хорошо известные проблемы оснований наук: проблема введения логических операторов в алгоритмические комбинаторно полные (А,-полные) неразрешимые исчисления Шейнфинкеля-Карри-Чёрча и Центральная проблема Гильберта построения доказуемо полных и доказуемо непротиворечивых оснований КМ.

Впервые формулируется программа Колмогорова по основаниям КМ. Обсуждаются историко-методологические вопросы её становления.

Работа развивает идеи и результаты, содержащиеся, в частности, в двух моих публикациях: «Паранепротиворечивость интеллектуальных систем компьютерных логик» (1989) [1] и «О роли теорем Гёделя о неполноте в основаниях наук» (2005) [2].

I. Центральная проблема Гильберта в основаниях математики

Впервые предлагается вариант решения Центральной проблемы Давида Гильберта (1862-1943) построения доказуемо полных и доказуемо непротиворечивых оснований КМ в виде одного (но не аксиоматического, а двухъярусного секвенциального без постулируемого правила сечения) исчисления (теории).

Эта проблема Гильберта долго не под давалась математикам. Многие даже были уверены, что решить её невозможно. При этом часто ссылаются на теоремы Гёделя 1931 года о неполноте богатых (по выразительным возможностям) формульных аксиоматических теорий первого порядка.

Видимо, первым был известный ученик Гильберта Герман Вейль (1885-1955), высказавшийся, что Гёдель нанес планам Гильберта решения Центральной проблемы «сокрушительный удар», от которого математика «не оправилась до сих пор» [3, с. 339-340]. Эта точка зрения Г. Вейля ничем не подкреплена, но тем не менее получила широкую известность и стала господствующей в научном мире (см., например, [4, 5]).

Как хорошо известно, на формульном аксиоматическом пути Готлоба Фреге (1848-1920) Центральная проблема Гильберта не решается: неограниченное теоретико-множественное свёртывание Георга Кантора (1845-1918), представленное аксиоматически в виде одной или нескольких формульных схем (задающих собственные аксиомы теории), вместе с соответствующей аксиоматически заданной логикой предикатов первого порядка, ведет к противоречию.

Наиболее важным и простым по изложению является широко известный парадокс Бертрана Рассела (1872-1970), найденный в 1902 году в опубликованной системе Г. Фреге.

Из общих соображений очевидно, что возможны различные способы преодоления противоречий. Один - наложить ограничения на аксиомы свёртывания (этот способ почему- то без объяснений считается единственным!). Другой, излагаемый ниже в данной работе, связан с двухъярусными секвенциальными системами, порождаемыми программой Колмогорова, охватывающей все основания КМ в её целостности.

Различные же ограничения на схемы аксиом свёртывания привели к построению известных аксиоматических теорий первого порядка, выражающих на пути Фреге (о путях Фреге и Колмогорова см. в [6]) неполным (по Гёделю) образом определенные разделы современной математики. Само разбиение математики на разделы (математический анализ, алгебра, теория вероятностей и т.д.) обусловлено только различными ограничениями на аксиомы свёртывания. Тем самым современная математика (с её разбиением на различные разделы) отличается от целостной классической теоретико-множественной математики.

На фрегевском пути все постулаты известных теорий (1-го порядка), естественно, выбирались и выбираются так, чтобы эти теории были непротиворечивыми. Но доказать непротиворечивость каждой известной теории G - трудная проблема Здесь используются термины «доказуемая непротиворечивость (теории) S» и «непротиворечивость S «; первый -точный, а второй - нет. Если в S выведено противоречие, то S перестает считаться «известной» и далее не исследуется.

К числу известных аксиоматических теорий относятся формульные исчисления гильбертовского типа, например, арифметики FA Пеано, теории множеств ZF Цермело-Френкеля, теории множеств NBG Ней-мана-Бернайса-Гёделя, теории множеств NF Куайна. Для большинства известных теорий доказуемая непротиворечивость на фрегевском пути пока не найдена и не опровергнута, а для таких, как исчисление

FA арифметики Пеано, доказательства непротиворечивости весьма громоздки, используют теоретико-множественную индукцию.

Только в 2004 году в [6] впервые опубликовано негёделевское построение теорий первого порядка, дано доказательство непротиворечивости всех известных формульных аксиоматических теорий с соответствующим историко-методологическим обоснованием. Предварительно в [6] каждая такая теория К перестраивается теоретико-множественно по Колмогорову и для неё доказывается теорема 1 о редукции в логику высказываний. (См. публикацию [7] 1999 г. и замечания к ней в [6, с. 31-32]).