Гюйгенс Волновая теория света. В погоне за лучом - [37]

Этот искусный механизм осуществлял деление времени, диктуемое столкновениями лопаток с венцом. Но этот ритм — «тик-так» — не позволял делить время на абсолютно равные промежутки. Достаточно было того, чтобы зубцы износились (что происходило часто) или чтобы между противовесами хотя бы немного нарушилось равновесие, чтобы поворот лопаток терял равномерность. Каждый удар начинал провоцировать довольно случайное отдаление венца, сложно поддающееся регулировке. Самые лучшие часы с этой моделью спускового механизма под названием билянец, или фолио, работали с отставанием 15 минут в день.

РИС. 2

РИС.З

ЧАСОВЩИК

Модель часов Гюйгенса появилась не как попытка решить проблему несовершенного взаимодействия между двумя элементами механизма, а вводила новый элемент — маятник. По своей физической природе он дает нам чистое периодическое колебание, которое можно использовать для деления времени на равные промежутки. Маятник сообщает регулярность своего движения лопаткам и исправляет их асимметрию. Если, как думал Галилей, ширина колебаний не влияет на период, то он останется неизменным, если только не получит удары разной интенсивности от зубцов венца, которые имеют тенденцию менять размах колебаний. Маятник также позволяет сделать движение более плавным по сравнению с колебанием противовесов, уменьшая износ шестеренок.

Ориентация венца и оси меняется, но они продолжают вращаться в перпендикулярных направлениях (см. рисунок 2).

Как и в модели со спусковым механизмом, столкновение с зубцами дает маятнику энергию, которую тот теряет из-за трения с воздухом. Маятниковые часы распределяют падение тела под действием силы притяжения на регулярные интервалы. Главная проблема заключалась в том, что, в отличие от догадок Галилея, период колебания маятника зависел от его широты (см. рисунок 3).

Другими словами, чем больше угол а, тем больше времени гиря затрачивает на завершение колебания. Хотя на практике при небольших углах эта зависимость исчезает, для нормального функционирования механизм требовал широких колебаний. Гюйгенс принял вызов и решил сконструировать маятник, период которого не зависел бы от размаха колебаний.

В маятнике соотношение между вертикальным направлением действия силы притяжения, которая влечет гирю вниз, и сопротивлением веревки, которая не дает гире отдалиться дальше, чем на свою длину, заставляют его описывать дугу окружности. Таким образом, у нас есть два элемента: сила тяжести и ограничение, которое мы накладываем на естественную траекторию массы. Из этих двух элементов легче манипулировать со вторым. Пока мы можем забыть о веревке в надежде, что найдется другой способ, ограничивающий движение гири и заставляющий ее колебаться по траектории, которая не будет круговой. Например, гирю можно закрепить в хорошо смазанном тросе или катать по изогнутой поверхности. То есть, рассматривая эту ситуацию без каких-либо ограничений, можем ли мы придать гире циклическую траекторию, которую она будет проходить под действием силы тяжести и независимо от широты?

С точки зрения физики вопрос можно поставить по- другому: существует ли траектория, проходя по которой, тело затрачивает столько же времени, чтобы достигнуть самой низкой точки, как при падении, вне зависимости от того, откуда оно начало падать? Интуиция подсказывает нам, что нет. Главный герой «Моби Дика» Измаил находит ответ случайно,

КРУГОВОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

На рисунке 1 показан простой маятник и главные элементы, отвечающие за его движение: вес Р, возникающий в связи с силой притяжения, и натяжение веревки Т. В классическом ньютоновом анализе вес раскладывается на сумму двух сил, одна действует перпендикулярно траектории (Рp = Р · cosα), другая — по окружности (P_t = Р · sinα). Это разделение ведет к двум уравнениям. В одном из них Р_р равно натяжению (Р_р= T) на двух концах колебания. Если Р_р было больше T, веревка порвалась бы. Если бы оно было меньше, веревка растягивалась бы массой m. Поскольку L остается постоянной, первое уравнение ограничивает движение гири дугой окружности. Второе уравнение описывает его динамику, как оно ускоряется и тормозится, когда колебания идут по кругу: m · at = P_t = -Р · sinα (где at — круговое ускорение). Отрицательный знак появляется, так как когда а положителен (sinα тоже положителен при α < 180°), то сила направлена влево, по направлению, которое мы считаем отрицательным, и наоборот. Если мы немного разовьем выражение, то получим:

m · d²s/dt² = -m · g · sinα,

где s представляет собой расстояние, пройденное вдоль окружности (S = L · α).

d²s/dt² = g · sinα, d²s/dt² = -g · sin s/L.

Решением этого уравнения будет функция s(t), которая позволяет получить для каждого момента t положение массы s, то есть определяет ее траекторию. Обычно это непериодическая функция. Когда значение а очень мало (то есть когда L гораздо больше s), синус и угол становятся почти одинаковыми (α ≈ sin а), и уравнение упрощается:

d²s/dt² = -g · s/L.

Решение этого уравнения соответствует периодической функции:

s(t) = smax · sin(√(g/L) · t).

Чем больше угол а, тем больше отдалится значение его синуса и хуже будет периодическая апроксимация. Это расхождение называется круговым отклонением. На рисунке 2 черная кривая обозначает функцию sin α, а серая — функцию α. Видно, что они совпадают только при маленьких углах, а от 15° градусов начинается расхождение.