Фрактальная геометрия природы - [41]

M(R)/[(4/3)πR³].

После этого величину R устремляют к бесконечности, а глобальная плотность определяется как предел, к которому сходится в этом случае приблизительная плотность.

Однако обязательно ли глобальная плотность сходится к положительному и конечному пределу? Если так, то скорость такого схождения оставляет желать лучшего, и это еще мягко сказано. Более того, оцеки предельной плотности, будучи рассмотрены во временной перспектив ведут себя довольно странно. По мере того как увеличивалась глубина наблюдаемой в телескоп Вселенной, приблизительная плотность на удивление систематически уменьшалась. Согласно де Вокулеру [104], уменьшение всегда было ∝R^D−3. Наблюдаемый показатель D мно меньше 3 — в наилучшем приближении D=1,23.

Де Вокулер выдвинул тезис о том, что поведение величины приблизительной плотности отражает реальность, имея в виду, что M(R)∝R^D. Эта формула вызывает в памяти классический результат для шара радиуса R, вложенного в евклидово пространство размерности E, — объем такого шара ∝R^E. В главе 6 мы встречались с такой же формуле для кривой Коха, с той лишь разницей, что показателем там была не евклидова размерность E=2, а дробная фрактальная размерность. А в главе 8 мы получили формулу M(R)∝R^D для канторовой пьи на временной оси (здесь E=1).

Все эти прецеденты заставляют (причем весьма настойчиво) предположить, что показатель де Вокулера D представляет собой не что иное, как фрактальную размерность.

ВХОДЯТ ЛИ ЗВЕЗДЫ В ДИАПАЗОН МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ?

Очевидно, что диапазон масштабной инвариантности, в котором удовлетворяет неравенству 0, не должен включать в себя объекты с явно определенными границами — такие, например, как планеты. А вот входят ли в него звезды? Согласно данным, полученным Уэбби ком и приведенным в [135], массу Млечного Пути внутри сферы рад уса R вполне можно представить в виде M(R)∝R^D, где величина экстраполируется с галактик. Мы, однако, продолжим наше обсуждение исключительно в галактических терминах.

СУЩЕСТВУЕТ ЛИ У ДИАПАЗОНА МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ ВЕРХНИЙ ПОРОГ?

Вопрос о том, насколько далеко в сторону очень больших масштабов простирается диапазон, внутри которого 0, весьма противоречив, причем в последнее время он снова привлек к себе внимание. Многие авторы либо прямо заявляют, либо подразумевают, что этот диапазон допускает существование внешнего предела, соответствующего размерам скоплений галактик. Другие авторы выражают свое несогласие с этим мнением. Де Вокулер [104] утверждает, что «кластеризация галактик и, возможно, всех остальных форм материи является доминатной характеристикой структуры Вселенной во всех доступных наблюдению масштабах, причем нет никаких указаний на какое бы то ни было приближение к однородности; средняя плотность вещества неуклонно падает по мере того, как принимаются во внимание все большие объемы пространства, и у нас нет экспериментально подтвержденных оснований полагать, что эта тенденция не распространяется на значительно большие расстояния и меньшие значения плотности».

Дебаты между этими двумя школами, безусловно, весьма интересны и важны — для космологии, но не для нашего эссе. Даже если диапазон, в котором 0, имеет границы с обеих сторон, само его существование достаточно значительно для того, чтобы оправдать самое тщательное исследование.

В любом случае Вселенная (совсем как тот клубок ниток, о котором мы говорили в главе 6) располагает, по всей видимости, целым рядом различных эффективных размерностей. Если начать с масштабов порядка радиуса Земли, то первой встретившейся нам размерностью будет 3 (такова размерность твердых тел с четкой границей). Далее размерность падает до 0 (так как материя рассматривается как скопление изолированных точек). Далее идет весьма интересный участок, характеризуемый некой нетривиальной размерностью, удовлетворяющей неравенству 0. Если масштабно-инвариантная кластеризация продолжается до бесконечности, то на этом последнем значении D ряд эффективных размерностей и заканчивается. Если же существует конечный внешний порог, то к списку добавляется четвертый интервал размерностей, внутри которого точки теряют свою индивидуальность, и у нас на руках оказывается однородный газ, т. е. размерность снова возвращается к 3.

Самым же наивным представлением является то, согласно которому галактики распределены во Вселенной приблизительно однородно. В этом случае последовательность размерностей D сводится к трем значениям: 3, 0 и опять 3.

< Общая теория относительности утверждает, что при отсутствии материи локальная геометрия пространства стремится стать плоской и евклидовой, в то время как присутствие материи переводит ее в локально риманову. Здесь мы можем говорить о глобально плоской Вселенной, размерность которой равна 3 с локальными значениями D<3. Такой тип возмущений описан в [519], довольно туманной работе, автор которой приводит (с. 312) пример построения кривой Коха (см. главу 6), не ссылаясь при этом на самого Коха. ►

ВСЕЛЕННАЯ ФУРНЬЕ

Нам остается лишь построить фрактал, который удовлетворял бы правилу