Фрактальная геометрия природы - [30]

вида 0,τ₁,τ₂,... Значения времени с одинаковым первым «знаком» после запятой отобразятся на одну и ту же девятую часть исходного квадрата, значения с одинаковым вторым «знаком» отобразятся на одну и ту же восемьдесят первую (9²) часть исходного квадрата и т. д. Таким образом, покрытие отрезка [0, 1] отображается на покрытие квадрата. Последовательные девятые доли линейных плиток отображаются на последовательные подплитки плоскости. А свойство отрезка, именуемое пертайлинг, т. е. рекурсивная и бесконечная разбиваемость на меньшие плитки, подобные целому отрезку [0, 1], отображается на аналогичное свойство квадрата. Различные движения Пеано, коими мы обязаны Э.Чезаро и Д. Пойа, отображают это свойство также и на всевозможные самоподобные покрытия треугольников.

В более общем смысле большинство движений Пеано порождают самоподобные покрытия плоскости. В простейшем случае существует некое основание N, и мы начинаем с линейного пертайлинга, заключающегося в последовательном разбиении целого на N-е доли. Однако прохождение снежинки, изображенное на рис. 104 и 105, подразумевает неравномерное разбиение интервала времени t [0, 1] сначала на четыре подынтервала длиной 1/9, затем на четыре подынтервала длиной 1/9√3, один — 1/9, два — 1/9√3 и два — 1/9.

ОБ ИЗМЕРЕНИИ РАССТОЯНИЯ ПЛОЩАДЬЮ

Движения Пеано нередко подразумевают весьма деликатные взаимоотношения между длиной и площадью, в которых эти понятия подчас меняются местами. Особенно характерно это для изометрического движения, т.е. такого, при котором временной интервал [t₁,t₂] отображается на площадь, равную длине |t₁−t₂| (Большинству движений Пеано присущи одновременно и изометрия, и пертайлинг, однако эти два понятия не следует смешивать.) Называя отображение временного интервала [t₁,t₂] плоским интервалом Пеано, мы подразумеваем, что вместо измерения расстояний через изменение значения времени, можно измерять их непосредственно на площади. Здесь, правда, возникает одна весьма существенная сложность — точки, расположенные напротив друг друга на разных берегах реки, совпадают в пространстве, но посещаются в разные моменты времени.

Определение «расстояния Пеано» может включать в себя только порядок посещений. Обозначим моменты первых посещений точек P₁ и P₂ через t'₁ и t'₂, а моменты последних посещений — через t''₁ и t''₂. Тогда левый интервал Пеано L{P₁,P₂} определяется как отображение интервала [t'₁,t'₂], а правый интервал Пеано R{P₁,P₂} — как отображение интервала [t"₁,t"₂]. Длины этих интервалов определяют левое и правое расстояния как |L{P₁,P₂}|=|t'₁−t'₂| и {R{P₁,P₂}|=|t"₁−t"₂|. Каждое из этих расстояний аддитивно, т. е. если расположить, скажем, три точки P₁, P₂ и P₃ в порядке их первых посещений, то мы получим

|L{P₁,P₃}|=|L{P₁,P₂}|+|L{P₂,P₃}|.

Другие определения интервала и расстояния различают точки реки и точки водораздела. Обозначим через t' и t'' моменты первого и последнего посещения точки P. Точка P считается точкой реки, если отображение интервала [t',t"] ограничено этой точкой и кривыми водораздела. Последовательные посещения точки P располагаются друг против друга на противоположных берегах реки. Точка P считается точкой водораздела, если отображение интервала [t',t"] ограничено этой точкой и реками.

В случае, если кривая Пеано представлена как общая граница между деревом рек и деревом водоразделов, пути, соединяющие точки P₁ и P₂, расположенные на противоположных берегах реки (т. е. вдоль водораздела), включают в себя наикратчайший общий путь. Представляется разумным при измерении расстояния между точками P₁ и P₂следовать как раз этим путем. Если не считать некоторых исключений, размерность D как дерева рек, так и дерева водоразделов строго меньше 2 и строго больше 1. Следовательно, наикратчайший путь нельзя измерить ни длиной, ни площадью, однако в типичных случаях он имеет нетривиальную хаусдорфову протяженность в размерности D.

И еще. Очень важные дополнительные соображения относительно движений Пеано подробно изложены в пояснениях к нижеследующим рисункам.

Рис. 95. КВАДРАТИЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ КОХА С РАЗМЕРНОСТЬЮ D=2: ОРИГИНАЛЬНАЯ КРИВАЯ ПЕАНО, ПРОХОЖДЕНИЕ КВАДРАТА

Заполняющая плоскость кривая Пеано, представленная на этом рисунке, является оригинальной кривой Пеано. Невероятно краткий алгоритм Джузеппе Пеано был графически воплощен в работе Мура [435] (которая получила, пожалуй, чрезмерно высокую оценку во «Фракталах» 1977 г.). На нашем рисунке кривая Пеано развернута на 45 градусов — тем самым эта «блудная» конструкция оказывается возвращенной в лоно кривых Коха, т. е. теперь генератор всегда одинаково размещается на сторонах терагона, полученного на предыдущем этапе построения.

Инициатором здесь выступает единичный квадрат (черный внутри), а генератор выглядит следующим образом:

Поскольку генератор — самокасающаяся кривая, получаемые в результате построения конечные острова Коха представляют собой скопления черных квадратов, словно вырезанных из бесконечной шахматной доски. После n-го этапа построения терагон Коха выглядит как решетка из прямых с шагом r) = эта решетка заполняет квадрат, площадь которого равна 2, причем плотность линий быстро возрастает по мере того, как