Флатландия. Сферландия - [115]

кубов, M² квадратов, M³ отрезков и M⁴ точек. Обратимся теперь к рассмотрению элементов, образующих границы единичных отрезков, квадратов, кубов и четырехмерных кубов. У единичного отрезка AB имеются две граничные точки («вершины»). У единичного квадрата ABCD — четыре вершины, у единичного куба ABCDEFGH — восемь вершин (по четыре от начального и конечного положения производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба — 16 вершин (по восемь вершин от начального и конечного положения производящего куба). Подсчитаем число ребер. У единичного отрезка AB есть лишь одно ребро (сам отрезок AB). У единичного квадрата ABCD — четыре стороны, («ребра»), у единичного куба ABCDEFGH — двенадцать ребер (по четыре ребра от начального и конечного положений производящего квадрата и четыре ребра, описанных четырьмя вершинами производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба тридцать два ребра (по двенадцать ребер от начального и конечного положений производящего куба и восемь ребер, описанных восемью вершинами производящего куба). Подсчитаем теперь число граней. У единичного квадрата ABCD есть лишь одна грань (сам квадрат ABCD). У единичного куба ABCDEFGH имеется шесть граней (по одной грани от начального и конечного положения квадрата ABCD и четыре грани, описанные сторонами производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба имеются двадцать четыре грани (по шесть граней от начального и конечного положений производящего куба и двенадцать граней, описанных ребрами производящего куба). Подсчитаем наконец число граничных кубов. У куба ABCDEFGH есть лишь один граничный куб (сам куб ABCDEFGH), а у четырехмерного единичного куба имеется восемь граничных кубов (по одному кубу от начального и конечного положения производящего куба и шесть кубов, описанных гранями производящего куба).

Рис. 2.

Рис. 3.

Предположим, что граница квадрата ABCD сделана из проволоки. Перерезав проволоку в вершине D, мы сможем развернуть границу квадрата и совместить ее с прямой, на которой лежит отрезок AB. При этом у нас получится одномерная фигура (рис. 2) длиной в четыре единицы. По обе стороны исходного единичного отрезка AB располагаются единичные отрезки DA и BC. Кроме того, к отрезку BС примыкает еще один единичный отрезок CD. Предположим теперь, что грани куба ABCDEFGH сделаны из тонкой фольги. Разрезав фольгу вдоль ребер EF, GH, HE, AE, BF, CG и DH, мы сможем развернуть поверхность куба на плоскость и получим двумерную фигуру, составленную из шести квадратов. К квадрату ABCD с каждой стороны примыкают единичные квадраты. Кроме того, к одному из таких квадратов примыкает еще один единичный квадрат FEGH (рис. 3). Аналогично если предположить, что кубы, ограничивающие четырехмерный единичный куб, сделаны из дерева и мы провели распилы вдоль соответствующих граней, то граничные кубы можно будет развернуть в трехмерную фигуру, составленную из восьми единичных кубов. К каждой грани куба ABCDEFGH примыкает по одному кубу. Кроме того, к свободной грани одного из примыкающих кубов «приклеен» еще один куб (рис. 4). Восемь кубов, образующих трехмерную фигуру, изображенную на рис. 4, составляют границу четырехмерного куба.

Рис. 4.

Ниже перечислены элементы, составляющие единичный отрезок, квадрат, куб и четырехмерный куб, а также их границы.

	Число точек	Число отрезков прямых	Число квадратов	Число кубов
Одномерный отрезок	M	1	0	0
Двумерный квадрат	M²	M	1	0
Трехмерный куб	M³	M²	M	1
Четырехмерный куб	M⁴	M³	M²	M
	Число вершин	Число ребер	Число граней (квадратов)	Число трехмерных граней (кубов)
Граница одномерного отрезка	2	1	0	0
Граница двумерного квадрата	4	4	1	0
Граница трехмерного куба	8	12	6	1
Граница четырехмерного куба	16	32	24	8

Приведенные выше рассуждения допускают непосредственное обобщение па случай единичного куба и более высоких размерностей.

Если одномерный отрезок неограниченно продолжить вправо за точку B и влево за точку A, так что длина его превзойдет любое сколь угодно большое число, то получится одномерное пространство. Аналогичным образом двумерное, трехмерное и четырехмерное пространства мы получим, неограниченно продолжив в обе стороны единичный квадрат, куб и четырехмерный куб.

Одномерный единичный отрезок отделен от остальной части одномерного пространства, в котором он лежит, двумя точками. Двумерный единичный квадрат отделен от остальной части двумерного пространства, в котором он расположен, четырьмя отрезками (сторонами). Трехмерный единичный куб отделен от остального пространства шестью квадратами. Аналогично четырехмерный единичный куб отделен от остальной части четырехмерного пространства, в котором он лежит, восемью кубами. Предположим, что мы хотим построить замкнутую фигуру любого числа измерений в пространстве того же числа измерений. Тогда в одномерном пространстве нам понадобятся для этого две точки, в двумерном пространстве — по крайней мере три прямые, в трехмерном пространстве — по крайней мере четыре плоскости и в четырехмерном пространстве — по крайней мере пять трехмерных пространств.

Так же как и в единичном отрезке, квадрате, кубе и четырехмерном кубе, из одной точки пространства в другую мы можем попасть, двигаясь вдоль фиксированных взаимно перпендикулярных направлений, число которых совпадает с размерностью пространства.