Флатландия. Сферландия - [114]
Платониды[15]
Граница четырехмерного единичного гиперкуба и другие особенности четырехмерного пространства
Школьник рано знакомится с измерением отрезков, площадей и объемов. Измеряя отрезок, школьник находит его длину. Измеряя площадь фигуры, школьник разбивает ее на квадраты или прямоугольники, поскольку ему известно, что площадь прямоугольника равна произведению ширины на высоту. Измеряя объем тела, школьник разбивает его на несколько прямоугольных параллелепипедов или кубов, поскольку ему известно, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длины на ширину и на высоту. Отрезок имеет одно измерение (длину), прямоугольник — два взаимно перпендикулярных измерения (длину и ширину), прямоугольный параллелепипед — три измерения, каждое из которых перпендикулярно двум другим (длину, ширину и высоту). Изобразим единицы линейных, квадратных и кубических мер (например, сантиметр, квадратный сантиметр и кубический сантиметр) в виде отрезка AB, квадрата ABCD, сторона которого равна отрезку AB, и куба ABCDEFGH, ребро которого по длине совпадает с отрезком AB, а грань имеет размеры квадрата ABCD (рис. 1). Единичный отрезок AB можно считать состоящим из бесконечно большого числа M точек, распределенных непрерывно от одного конца A отрезка до другого конца B.
Тогда квадрат ABCD содержит M × M = M² точек, а куб ABCDEFGH содержит M × M × M = M³ точек[16]. Из любой точки отрезка AB в любую другую точку того же отрезка можно перейти, двигаясь в одном фиксированном направлении, а именно в направлении отрезка AB. Аналогично из любой точки квадрата ABCD в любую другую его точку можно перейти, двигаясь вдоль двух фиксированных направлений, параллельных двум сторонам квадрата, сходящимся в одной вершине, а из любой точки куба ABCDEFGH в любую другую его точку можно попасть, двигаясь вдоль трех фиксированных направлений, параллельных трем ребрам куба, сходящимся в одной вершине (направление вперед и назад при движении вдоль любого направления мы не различаем). Таким образом, если говорить о движении, переводящем одну точку фигуры в другую, то единичный отрезок следует считать одномерным, единичный квадрат — двумерным и единичный куб — трехмерным.
В трехмерном пространстве нет такого движения, которое нельзя было бы разложить на движение но трем взаимно перпендикулярным направлениям. На Земле нет такой точки, которой нельзя было бы достичь, двигаясь на север или на юг, на запад или восток и вверх или вниз. В комнате нет ни одной точки, до которой нельзя было бы добраться, двигаясь вдоль длины, ширины и высоты. Зрение позволяет нам воспринимать непосредственно лишь два измерения предмета (ширину и высоту), в то время как третье измерение (расстояние до предмета) мы оцениваем по мышечному усилию, необходимому для того, чтобы сфокусировать глаза на интересующем нас предмете. Мы не обладаем органом чувств, способным воспринимать четвертое измерение, перпендикулярное трем остальным измерениям. Весь человеческий опыт позволяет нам довольствоваться тремя измерениями.
Но оставим опыт и обратимся к рассуждениям по аналогии. Четвертое измерение можно ввести следующим образом. Объем четырехмерного куба равен произведению длины, ширины, высоты и некоторого четвертого измерения. Чтобы вычислить объем четырехмерного прямоугольного параллелепипеда, необходимо произвести четыре линейных измерения, причем каждое в направлении, перпендикулярном трем остальным. Следовательно, четвертое измерение образует прямой угол с каждым из трех направлений, вдоль которых мы измеряем длину, ширину и высоту трехмерного прямоугольного параллелепипеда. Четырехмерный единичный куб должен иметь ребро, совпадающее с отрезком AB, грань совпадающую с квадратом ABCD, и основание, совпадающее с кубом ABCDEFGH. Четырехмерный единичный куб содержит M × M × M × M = M⁴ точек. Перейти из одной его точки в любую другую можно, двигаясь в четырех фиксированных направлениях, параллельных четырем его ребрам, сходящимся в одной вершине.
Квадрат ABCD (рис. 1) мы получим из отрезка AB, передвинув этот отрезок со всеми его M точками на расстояние, равное 1 см в направлении, перпендикулярном единственному измерению отрезка AB. Каждая точка отрезка AB при движении описывает некоторый отрезок, и, таким образом, квадрат ABCD содержит M отрезков, так же как и M² точек. Куб ABCDEFGH мы получим из квадрата ABCD, сдвинув квадрат ABCD на расстояние, равное 1 см, в направлении, перпендикулярном двум измерениям квадрата. При движении M отрезков и M² точек квадрата опишут соответственно M квадратов и M² отрезков. Следовательно, куб ABCDEFGH содержит M квадратов, M² отрезков и M³ точек. Аналогично четырехмерный единичный куб мы получим из трехмерного куба ABCDEFGH, передвинув этот куб на расстояние, равное 1 см, в направлении, перпендикулярном каждому из трех измерений куба, то есть в направлении четвертого измерения. При движении M квадратов, M² прямых и M³ точек трехмерного куба ABCDEFGH опишут соответственно M кубов, M² квадратов и M³ отрезков. Следовательно, четырехмерный единичный куб содержит
