Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия - [61]

совпадает с А. Таким образом, мы говорим: дуга = хорда,  — A‾B‾. Тогда

Дуга/Δt = Хорда/Δt, или /Δt = A‾B‾/Δt в пределе.

Следовательно,

Ускорение = Δv/Δt = (v/R)∙A‾B‾/Δt = (v/R)∙(v), в пределе (v/R)∙/Δt

так как

/Δt есть v. Тогда ускорение Δv/Δt = (v/R)∙(v) или v²/R

или (Скорость на орбите)²/(Радиус орбиты)

Это соотношение ускорение — v²/R очень важно. Мы будем использовать его в теории движения планет, при изучении движения электронов, при изготовлении масс-спектрографов и конструировании циклотронов — везде, где мы сталкиваемся с движением по орбите. Было бы очень важно повторить для себя вывод этого соотношения и поверить в его значение. Поняв, как это делается, вы можете сократить вывод, ограничившись коротким объяснением, двумя эскизами и несколькими алгебраическими выражениями.

Два важных вопроса

Полученный нами результат, ускорение = v²/R, вызывает два вопроса:

1. Каким образом может движущееся тело иметь ускорение, но не двигаться быстрее или же не перемещаться к центру круга?

2. Не нужна ли сила для ускорения тела в направлении его движения в соответствии с соотношением F = M∙a. He действует t ли на массу М, движущуюся по окружности, сила М∙v²/R.

Оба эти вопроса являются выражением тех, реальных трудностей, которые возникли сразу же, как только люди оказались перед необходимостью объяснить движение планет по орбитам. Ответ на вопрос 2 следует из эксперимента: «Да, каждое реальное движение по окружности требует наличия реальной силы, направленной внутрь, a М∙v²/R есть величина этой силы». Чтобы тело могло двигаться по окружности, на него должна действовать сила, направленная к центру. Такая сила может осуществляться с помощью какого-либо реального внешнего воздействия — веревки, пружины или силы тяготения[82].

Пример А

Вращайте камень, привязанный к веревке (фиг. 107). Вы тянете за веревку, а веревка тянет камень к центру. Веревка буксирует камень и сообщает ему некоторое количество движения в новом направлении.

Представим себе, что веревка делает серию слабых рывков; рывок — и скорость изменила свое направление, еще рывок — снова изменение, еще, еще и так вдоль всей окружности. Если вы отпустите веревку, рывки прекратятся, прекратится и изменение скорости, а камень будет продолжать двигаться по касательной. (Сказать, что «камень улетает по касательной» — значит ввести в заблуждение).

Вращение камня на веревке по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, под действием пружины или веса обеспечивает наличие внутренней силы, которую можно измерить. Ниже описаны 3 опыта. Любой из них можно использовать для проверки справедливости соотношения F = M∙v²/R.

Фиг. 107. Вращение камня на веревке.

Опыт 1. Металлический шар, связанный шнуром со стальной пружиной, равномерно вращается по кругу (фиг. 108).

Пружина растягивается до некоторых пор, а затем длина R шнура + пружины остается постоянной во время вращения. Движение хронометрируется и затем рассчитывается величина силы М∙v²/R, направленной внутрь. Эта сила, фактически действующая со стороны пружины, определяется в отдельном эксперименте путем навешивания нагрузки на пружину.

Чтобы увидеть, насколько растянулась пружина при вращении, необходимо некоторое устройство.

Опыт 2. Металлический шар, привязанный к шнуру, равномерно вращается по кругу (фиг. 109).

Шнур спускается вниз в стеклянной трубке с гладкими открытыми концами и оттягивается с помощью груза W. Двигая трубку по маленькому кругу, экспериментатор поддерживает движение шара по горизонтальному кругу. Движение хронометрируется, и определяется значение силы М∙v²/R, направленной внутрь. Эта сила, фактически действующая на шар со стороны шнура, является силой натяжения и практически равна (за вычетом незначительного трения) весу груза W.

Опыт 3. В этом варианте опыта 2, когда трения нет, шар заменен тяжелым блоком, расположенным на куске сухого льда, скользящем по алюминиевому столу (фиг. 110). Шнур пропущен через отверстие в центре стола, а стеклянная трубка заменена маленьким блоком, который поворачивается в этом отверстии на очень хороших подшипниках.

Пример Б

Проследите за движением «конического маятника» (фиг. 111). Гиря маятника, движущаяся по окружности в горизонтальной плоскости, подвергается воздействию двух реальных сил — веса и натяжения веревки. Если вы измерите эти силы и сложите их как векторы, вы можете найти результирующую горизонтальную силу, направленную внутрь к центру орбиты гири. Измерив параметры орбиты и время одного оборота, вы можете проверить соотношение а = v²/R

Пример В

Шарик катится внутри воронка

по эллиптической орбите (фиг. 112, а).

Пример Г

Стальной шар катится по горизонтально расположенной стеклянной пластине в магнитном поле (фиг. 112, б). На практике обычно используется электромагнит, который располагается под столом. (Магнитное поле намагничивает шар так, что он притягивается к полюсу магнита. Получая подходящее ускорение, этот шар будет кататься вокруг полюса магнита.)

Фиг. 112.Примеры кругового движения с центростремительной силой.

_{а — стальной шар в стеклянной воронке; б — стальной шар на гладком столе в поле магнита.}