Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия - [126]
б) Какова сила[166], разогнавшая ее из состояния покоя до этой скорости?
Ответы
а) Энергия пули = >1/>2mv>2, или >1/>2∙0,002∙(400)>2 кг∙м>2/сек>2 = 0,001∙160 000 = 160 ньютон∙м, или дж.
б) Эта энергия образовалась из тепловой энергии газов при взрыве.
Работа, описывающая этот переход, равна F∙s, или (F ньютон)∙(0,80 м).
Итак, E>кин = 160 ньютон∙м = (F)∙(0,80) ньютон∙м при условии, что сила F полностью затрачена на ускорение пули, увеличение ее кинетической энергии
СИЛА F = 160/0,80 = 200 ньютон ~= 20 кГ
Довольно большое усилие для маленькой пули!
Пример Г. Иллюстрация закона сохранения энергии
(Попробуйте решить задачу самостоятельно, а потом, если нужно, заглянуть в ответ.)
Человек втаскивает на вершину обрыва высотой 40 м камень массой 2 кг.
а) Каков прирост потенциальной энергии камня?
б) Камень сбрасывается вниз. Сколько у него осталось потенциальной энергии после того, как он пролетел 10 м? Каков прирост кинетической энергии? Попытайтесь сложить потенциальную и кинетическую энергии.
в) Сколько у камня осталось потенциальной энергии из первоначального запаса после того, как он пролетел все 40 м? Какова его кинетическая энергия перед приземлением?
г) Опишите изменение потенциальной и кинетической энергий, а также суммы этих энергий в процессе падения камня.
Ответы
а) Прирост потенциальной энергии равен
Вес∙Высота = (2 кГ∙9,8 ньютон/кг)∙40 м = (19,6 ньютон)∙(40 м) = 784 ньютон∙м, или 784 дж.
б) Пролетев 10 м, камень оказался на высоте 30 м над землей, а его оставшаяся потенциальная энергия равна
(19,6 ньютон)·(30 м), или 588 дж.
Чтобы вычислить кинетическую энергию, необходимо знать скорость камня v.
Сначала[167] из s = v>0t + >1/>2at>2 найдем t:
а = 9,8 м/сек>2, s = 10 м, v>0 = 0, t =?
s = v>0t + >1/>2at>2, 10 = 0 + (>1/>2)∙(9,8)∙t>2,
t>2 = 10/4,9 = 100/49,
t = 10/7 сек
Теперь v = v>0 + at = 0 + (9,8)∙(10/7) = 14 м/сек;
В сумме обе энергии дают = 196 + 588 дж = 784 дж.
в) Пролетев 40 м, камень потерял всю потенциальную энергию. Падая >20/>7 сек, он приобрел скорость 28 м/сек;
Кинетическая энергия = (>1/>2)∙(2 кГ)∙(28>2 м>2/сек>2), или 784 дж.
В сумме обе энергии дают: 784 дж + 0 = 784 дж.
г) Общее описание изменения энергии. Когда камень падает из состояния покоя с высоты 40 м над землей, то он начинает движение с запасом потенциальной энергии 784 дж (полученной им от человека из его запаса химической энергии) и нулевой кинетической энергии. По мере падения его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая возрастает, но сумма обеих энергий остается на всех стадиях одной и той же, т. е. 784 дж. Непосредственно перед приземлением камень исчерпывает свою потенциальную энергию, но зато его кинетическая энергия становится максимальной, т. е. 784 дж. Когда камень ударяется о землю, его кинетическая энергия исчезает, превращаясь в теплоту (около >1/>5 Кал), которая нагревает камень, землю и воздух.
Эта задача — простой, частный пример закона сохранения энергии. Восхитительный закон природы? Едва ли, просто мы так выбрали выражение >1/>2 Mv>2 для кинетической энергии, чтобы оно было равно F∙s, а так как мы используем то же самое выражение F∙s для характеристики изменения потенциальной энергии, то следует ожидать, что сумма обеих энергий будет оставаться постоянной как следствие нашего выбора.
Если какая-то часть движения падающего камня расходуется на трение о воздух, то сумма энергий не будет постоянной. Кинетическая энергия будет расти медленнее, так как трение требует своей доли. Поэтому без учета теплоты (и энергии воздушных токов), идущей на нагревание воздуха из-за трения, мы не получим закона сохранения энергии.
В пункте (б) мы выбрали некрасивый способ вычисления v; сначала из формулы s = v>0t + >1/>2at>2 нашли время, затем из v = v>0 + at определили скорость. Все это делалось для того, чтобы избежать незнакомой нам формулы v>2 = v>2>0 + 2as. А если мы воспользуемся ею, то мгновенно получим
v>2 = 0>2 + 2∙9,8∙10 = 196 м>2/сек>2,
v = √196 = 14 м/сек.
Кроме того, ясно, что эта формула немедленно дает сохранение энергии, ибо из нее и было получено >1/>2 Mv>2.
Более общая алгебраическая форма записи. Предположим, что камень массой m начинает падать с начальной скоростью v>0 с высоты h>0. К моменту, когда его высота станет h>1, он пройдет расстояние (h>0 — h>1) с ускорением g, направленным вниз, так что его скорость их будет определяться выражением
v>2>1= v>2>0 + 2g∙(h>0 — h>1)
Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергий равна
>1/>2 mv>2>1 + mgh>1 = >1/>2∙m∙[v>2>0 + 2g∙(h>0 — h>1)] + mgh>1 =
= >1/>2 mv>2>0 + mgh>0 — mgh>1 + mgh>1 =
=>1/>2 mv>2>0 + mgh>0
т. е. первоначальной сумме кинетической и потенциальной энергий. Следовательно, на любой высоте h>1 полная энергия та же, что и на первоначальной высоте h>0.
Пример Д. Теплота и кинетическая энергия
Свинцовая пуля массой 0,006 кг, летящая со скоростью 400 м/сек, ударяет в стальную стенку и останавливается. Подсчитайте, насколько возрастет ее температура. Удельная теплоемкость свинца составляет 0,03, а 1 Кал = 4200 дж.
Примечание. Удельная теплоемкость 0,03 означает, что свинец требует в 0,03 раза больше тепла, чем та же масса воды при нагревании на одну и ту же температуру (см. гл. 27
