Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила - [24]
Следовательно, полное расстояние, пройденное телом, определяется полной площадью всех таких вертикальных полосок, т. е. заштрихованной площадью на фиг. 14, б.
1) Если, как показано на фиг. 14, б, боковые стороны заштрихованной геометрической фигуры равны v>0 и v, а основание — промежутку времени t, то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши геометрические соображения.)
2) Если боковые стороны равны v>0 и v + at (что следует из определения ускорения), то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши рассуждения.)
3) Запишите ответы на первые два вопроса в виде выражений для s — расстояния, пройденного телом за время t.
4) Предположим теперь, что ускорение не постоянно, а, начиная с некоторого меньшего значения, возрастает до некоторого большего значения, так что скорость по-прежнему изменяется за время t от v>0 до v, но не равномерно.
а) Начертите новый график для этого случая.
б) Будут ли для него применимы выражения, полученные в качестве ответа на вопросы 1 и 2?
в) Какое слабое место было в прежних рассуждениях в приложении I, основанных на алгебре, которое теперь отсутствует?
Фиг. 14. К задаче 6.
Задача 7. Доказательство с помощью математического анализа
В пределе скорость v представляет собой изменение расстояния в единицу времени ds/dt, а ускорение а — изменение скорости в единицу времени dv/dt, или d/dt(ds/dt), или d>2s/dt>2. Покажите, что если а постоянно, то справедливо каждое из следующих утверждений:
1) интегрирование dv/dt = a приводит к выражению v = v>0 + at (где v>0 — постоянная, значение v в момент времени t = 0);
2) интегрирование соотношения v = v>0 + at приводит к соотношению s = v>0t + >1/>2at>2 (Указание. Вспомните, что v = ds/dt);
3) интегрирование dv/dt = a приводит к соотношению v>2 = v>2>0 + 2as. (Указание. Попробуйте умножить обе части этого соотношения на v.)
Задача 8. Графики движения
На фиг. 15 показаны расположенные друг под другом три графика движения предмета по прямой. График I изображает зависимость пройденного расстояния от времени; график II — зависимость скорости от времени; график III — зависимость ускорения от времени. На всех трех графиках масштаб времени одинаков, а начало координат лежит на одной вертикальной прямой. Изображенные графики относятся к движению предмета с постоянным ускорением, начинающемуся при s = 0 (показано буквой А) и скорости v = 0 (показано буквой В) в момент времени t = 0. Для более сложных движений все три линии могут быть кривыми.
1) В общем случае произвольного движения график одной или более величин может быть получен из графика для некоторой другой из трех указанных величин по значениям наклона касательных. Какой (каких) именно? Объясните, почему.
Фиг. 15.К задаче 8.
2) В общем случае график одной или более величин может быть получен из графика другой из трех величин путем измерения площади под кривыми. Какой (каких) именно? Объясните, почему.
3) Мотоциклист стартует из положения покоя и движется в течение 6 сек с ускорением 4,5 м/сек>2; в течение 10 сек он движется с постоянной скоростью, а затем тормозит и останавливается за 4 сек, двигаясь с постоянным замедлением. Начертите для этого движения три графика: I, II, III,
4) На фиг. 16 показан график II для движения автомобиля. Перечертите его и добавьте графики I и III.
Фиг. 16.
5) На фиг. 17 показан график III для движения тележки. Перерисуйте его и добавьте графики I и II.
Фиг. 17.
6) На фиг. 18 показан график I для движения груза длинного маятника по его траектории, близкой к прямой. Перерисуйте его и добавьте графики II и III. (Задача сложная. Над ней стоит как следует подумать.)
Фиг. 18.
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ИЗМЕРЕНИЕ g
Мы, не задумываясь, объявили, что значение g равно 9,8 м/сек>2, но это значение появилось в результате лабораторных измерений. Вы будете пользоваться им для простых вычислений, связанных с падением тел, и для вычисления сил, которое имеет важное значение, когда g рассматривают как напряженность поля силы тяжести. Это столь полезная величина, что прежде, чем пользоваться ею, стоит посмотреть, как измеряется ее значение. Грубую оценку можно было бы сделать при помощи камня, секундомера и метрового куска веревки.
Задача 9. Приближенное измерение g
Экспериментатор бросает большой камень из окна 14-этажного дома и устанавливает, что камень достигает поверхности земли за время «чуть» больше 3 сек. Считая, что окно находится на высоте примерно 46 м над землей, оцените значение g в м/сек>2.
Более точное измерение можно проделать с помощью электрических часов, как показано на фиг. 19; вам следовало бы посмотреть такой опыт. Для очень точных измерений потребовалось бы прибегнуть к упомянутому уже эксперименту, в котором устранено трение и берется серия падений.
Фиг. 19.Измерение g.
Задача 10.Более точное измерение g
Металлический шар свободно падает с высоты потолка на пол. У потолка шар удерживается двумя металлическими штырями так, что замыкается электрическая цепь, и ток препятствует пуску электрических часов. Внезапно шар отпускают, и часы начинают отсчитывать время. Достигнув пола, шар соединяет две легкие металлические пластины, и замыкает другую электрическую цепь, в результате чего часы останавливаются. В реальном эксперименте шар падал с высоты 7 м, считая от верхних до нижних контактов, часы в это время отсчитали 1,20 сек.
