Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила - [23]

² = v²₀ + 2as, полученное в результате утомительных и нудных алгебраических выкладок. Попробуем раскрыть это выражение. Можно ли, судя по его виду, легко видоизменить его путем алгебраических преобразований? Можно ли каким-то очевидным образом упростить или расчленить его? Нет, нельзя. Тогда придется действовать по-другому. Попробуем произвести перенос из одной части равенства в другую. Мы можем прийти к выражению v² — v²₀ = 2as. Можно ли, воспользовавшись методами алгебры, без большого труда сделать что-нибудь с этим выражением? Оказывается, можно. Левая часть этого равенства, содержащая множители (v + v₀)(v — v₀), нам давно знакома. Можно было бы составить левую часть равенства из этих множителей, если бы нам удалось каким-нибудь образом определить их по отдельности. Но где мы видели уже выражение (v + v₀)? Мы встречались раньше с этим множителем в соотношении (2); s = 1/2(v + v₀)t. Значит, v + v₀= 2s/t. А где мы встречались с величиной (v — v₀)? В определении ускорения, которое мы записали в виде a = (v — v₀)/t. Следовательно, (v — v₀) = at. Теперь нам нужно получить величину v² — v²₀, для этого достаточно перемножить (v + v₀) и (v — v₀). Воспользуемся с этой целью соотношениями (v + v₀) = 2s/t и (v — v₀) = at:

(v + v₀)(v — v₀) = 2s/t (at)

Таким образом, (v² — v²₀) = 2as, что приводит к нужной нам форме записи.

Теперь, располагая изложенным методом, к которому мы пришли в результате анализа, опустим детали наших изысканий и начнем снова.

Чтобы вывести соотношение v² = v²₀ + 2as изящным методом, начнем с определения ускорения

a = (v — v₀)/t

и с формулы, выражающей пройденный путь через среднюю скорость s = 1/2(v + v₀)t, и просто перемножим оба эти уравнения. Мы получим соотношение a∙s = 1/2(v² — v²₀), которое приводит к выражению

v² = v²₀ + 2as

Вот четыре соотношения между величинами v, v₀, a, s и t:

v = v₀ + at, s = 1/2(v + v₀)t, s = v₀t + (1/2)at², v² = v²₀ + 2as

Эти соотношения позволяют быстро вычислить значение любой входящей в них величины, если известны значения трех других величин.

Алгебра позволяет вычислить результирующий путь

Числовым значениям необходимо придавать подходящие знаки + и —. Например, если начальная скорость движущегося тела равна 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение составляет 1 м/сек/сек и направлено тоже на восток, то мы можем записать v₀ = +3 и а = +1. Если же v₀ = 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение в противоположном направлении равно 1 м/сек/сек к западу, то одна из этих величин должна записываться со знаком минус. Если мы говорим, что v₀ = +3, то мы должны записать а = —1, используя знак плюс для скорости, ускорения и пройденного пути в направлении на восток, а знак минус для перечисленных величин, направленных на запад. Тогда s будет равно результирующему расстоянию, пройденному за время t, а не арифметической сумме перемещений в западном и восточном направлениях. Это происходит потому, что при вычислении каждого отрезка пути мы приписываем знак плюс перемещениям в направлении на восток, а знак минус перемещениям на запад, и когда мы складываем эти отрезки пути со знаками + и —, стремясь найти s, то в соответствии с правилами алгебры получим результирующую разность перемещений. При v₀ = +3 и а = —1 движение будет замедленным: тело движется все медленнее и медленнее вперед в течение 3 сек, останавливается, а затем движется все быстрее и быстрее в обратном направлении. Через 5 сек траектория движения будет такой, как показано на фиг. 13: тело переместится на 4,5 м вперед, затем на 2 м назад, и результирующее перемещение будет равно 2,5 м.

Фиг. 13. Результирующее пройденное расстояние s.

Алгебра дает

Таким образом, s всегда означает результирующее расстояние, пройденное от старта до финиша.

Приведенные выше соотношения — это лишь инструменты, а не разделы науки, имеющие жизненно важное значение. Эти соотношения абсолютно верны для движения с постоянным ускорением и отнюдь не достоверны для других движений. Только эксперимент может сказать нам, в каких случаях они применимы к реальным явлениям окружающего мира.

Задача 6.Доказательство без математического анализа

Галилей не имел возможности воспользоваться математическим анализом, он предпочитал геометрию и рассматривал равномерно ускоренное движение следующим образом. Представим себе график скорости движущегося тела, откладываемый по вертикали в зависимости от времени, откладываемого по горизонтали. Если, тело движется с постоянным ускорением, его скорость должна возрастать с течением времени равномерно. График скорости должен представлять собой прямую линию. Она не обязательно должна проходить через начало координат, она может идти от начальной скорости v₀ при t = 0, достигая некоторого значения v в момент времени t.

Посмотрим теперь, что произойдет за некоторый очень короткий промежуток времени Δt, когда скорость равна, скажем, v₁. (Разумеется, v все время возрастает, но мы можем в качестве v₁ взять среднее за короткий промежуток времени Δt.) Тогда тело проходит за этот промежуток времени расстояние [(v₁)∙(Δt)]. Но на графике величина [(