Древнеарийская философия. Том 1, 2 - [15]
Короче говоря, «аксиома выбора породила больше дискуссий и споров, чем любая другая аксиома, за исключением, может быть, аксиомы Евклида о параллельных»>7, или пятого постулата Евклида. И, всё же, несмотря на все её странности, под давлением потребностей в обосновании самых распространённых методик было заключено, что «на сегодняшний день аксиома выбора признаётся, в принципе, безвредной и необходимой в математической практике»>8.
Разумеется, всё сказанное свидетельствует о том, что аксиома выбора представляет собой краеугольный камень современной математики. Но, признавая за нею такую роль, математики всегда помнят, что «принятие аксиомы выбора позволяет доказывать теоремы, мягко говоря, противоречащие интуиции»>9.
Формулировка аксиомы выбора. В настоящий момент аксиома выбора представляется в нескольких эквивалентных формах, отражающих различные её нюансы. Наиболее часто используются следующие её формулировки>10.
«…Следующие формулы эквивалентны:
1. Аксиома выбора: Для любого множества существует такая выбирающая функция, что для всякого его непустого подмножества она отображает данное подмножество на его часть, то есть, в это же самое подмножество;
2. Мультипликационная аксиома: Для любого множества непустых и попарно непересекающихся множеств существует множество, содержащее в точности по одному элементу из каждого множества, входящих в их описываемое объединение;
3. Принцип вполне упорядочивания: Всякое множество может быть вполне упорядочено;
4. Трихотомия: Каждые два элемента множества сравнимы между собой;
5. Лемма Цорна: Если в частично упорядоченном множестве всякая цепь, то есть, полностью упорядоченное подмножество, имеет верхнюю грань, то в таком множестве существует максимальный элемент»
Начальные из двух приведённых формулировок аксиомы выбора являются самыми «древними». По мнению автора, они отражают сущность аксиомы выбора наиболее выпукло, хотя и являются, с логической точки зрения, наиболее сложными вариантами её определения.
Первая формулировка аксиомы выбора основывается на использовании некоторой функции. Условимся называть такую функцию «выбирающей функцией аксиомы выбора» или просто «выбирающей функцией».
Действие выбирающей функции происходит как отображение данного множества в себя. С технической точки зрения, оно происходит как отбор некоторых элементов множества.
Все же прочие элементы его элементы оказывается, что называется, «за бортом». Данное обстоятельство и показывает, что аксиому выбора можно рассматривать как формулировку принципа сжимающих отображений.
Эквивалентность принципа познания и принципа сравнения. Все прочие приведённые формулировки аксиомы выбора основываются на различных типах сравнений. Данные сравнения совершаются в любой ситуации для произвольных объектов с учётом конкретной специфики имеющейся ситуации.
Иначе говоря, аксиома выбора гарантирует наличие приспособленной к нуждам изучения той или иной задачи линейки, как только в ней встанет реальная необходимость. Но особенности такой линейки, включая её масштаб, а также однозначную интерпретацию измеряемых ею величин, включая их удобный для всех заинтересованных специалистов размер, заранее для всех возможных случаев не могут быть определены.
Характерными примерами конкретных реализаций подобной линейки является деньги, температура и энергия, точнее, их измерение. Получаемые здесь оси, пусть даже и на первых этапах, оказываются ограниченными с одной стороны, что, в частности, позволяет ввести естественным образом определённую точку отсчёта или 0 (ноль) шкалы измерения.
Обычно измерительную систему выбирают так, чтобы имелась возможность работы с положительными объектами. Впрочем, не всегда такой подход бывает не только удобен, но и возможен.
Разумеется, при сравнении возможна и констатация равенства. Подобные обстоятельства складываются при игнорировании некоторых деталей, обусловленных спецификой ситуации.
Однако, обычно в ходе таких сравнений какой-то из объектов обязан «выходить из игры». Как следствие, сравнение невозможно без выбора, и потому оно является одним из следствий действия выбирающей функции.
Любые измерения, проводимые при помощи обсуждаемой линейки, дают конечные величины. Данное обстоятельство проистекает из конечности возможностей любых объектов Мироздания.
Гарантируя возможность сравнения, аксиома выбора не проливает света на то, как оно в самых общих чертах реализуется на практике в любой ситуации. Подобное обстоятельство характеризует не только связанную с аксиомой выбора абстрактность, но и показывает, что принцип сравнения эквивалентен принципу познания.
В наиболее общей формулировке принцип сравнения приводит к выделению эталона измерений, числовой системы и определению алгебраических операций, являющихся основой познания, а также проявления объектов в Мироздании. Изучение же сущности алгебраических операций приводит к выводу об их связи с дифференцированием>11, которое можно рассматривать как наиболее совершенную форму сравнений.
Отсутствие формулы у выбирающей функции. Собственно говоря, парадоксы аксиомы выбора, о которых вскользь будет говориться ниже, снискавшие ей не совсем здоровую славу, объясняются отсутствием
Стоицизм, самая влиятельная философская школа в Римской империи, предлагает действенные способы укрепить характер перед вызовами современных реалий. Сенека, которого считают самым талантливым и гуманным автором в истории стоицизма, учит нас необходимости свободы и цели в жизни. Его самый объемный труд, более сотни «Нравственных писем к Луцилию», адресованных близкому другу, рассказывает о том, как научиться утраченному искусству дружбы и осознать истинную ее природу, как преодолеть гнев, как встречать горе, как превратить неудачи в возможности для развития, как жить в обществе, как быть искренним, как жить, не боясь смерти, как полной грудью ощущать любовь и благодарность и как обрести свободу, спокойствие и радость. В этой книге, права на перевод которой купили 14 стран, философ Дэвид Фиделер анализирует классические работы Сенеки, объясняя его идеи, но не упрощая их.
Какую форму может принять радикальная политика в то время, когда заброшены революционные проекты прошлого? В свете недавних восстаний против неолиберального капиталистического строя, Сол Ньюман утверждает, сейчас наш современный политический горизонт формирует пост анархизм. В этой книге Ньюман развивает оригинальную политическую теорию антиавторитарной политики, которая начинается, а не заканчивается анархией. Опираясь на ряд неортодоксальных мыслителей, включая Штирнера и Фуко, автор не только исследует текущие условия для радикальной политической мысли и действий, но и предлагает новые формы политики в стремлении к автономной жизни. По мере того, как обнажается нигилизм и пустота политического и экономического порядка, постанархизм предлагает нам подлинный освободительный потенциал.
Целью данного учебного пособия является знакомство магистрантов и аспирантов, обучающихся по специальностям «политология» и «международные отношения», с основными течениями мировой политической мысли в эпоху позднего Модерна (Современности). Основное внимание уделяется онтологическим, эпистемологическим и методологическим основаниям анализа современных международных и внутриполитических процессов. Особенностью курса является сочетание изложения важнейших политических теорий через взгляды представителей наиболее влиятельных школ и течений политической мысли с обучением их практическому использованию в политическом анализе, а также интерпретации «знаковых» текстов. Для магистрантов и аспирантов, обучающихся по направлению «Международные отношения», а также для всех, кто интересуется различными аспектами международных отношений и мировой политикой и приступает к их изучению.
Люди странные? О да!А кто не согласен, пусть попробует объяснить что мы из себя представляем инопланетянам.
Основой этой книги является систематическая трактовка исторического перехода Запада от монархии к демократии. Ревизионистская по характеру, она описывает, почему монархия меньшее зло, чем демократия, но при этом находит недостатки в обоих. Ее методология аксиомативно-дедуктивная, она позволяет писателю выводить экономические и социологические теоремы, а затем применять их для интерпретации исторических событий. Неотразимая глава о временных предпочтениях объясняет процесс цивилизации как результат снижающихся ставок временного предпочтения и постройки структуры капитала, и объясняет, как взаимодействия между людьми могут снизить ставку временных предпочтений, проводя параллели с Рикардианским Законом об образовании связей. Сфокусировавшись на этом, автор интерпретирует разные исторические феномены, такие как рост уровня преступности, деградация стандартов морали и рост сверхгосударства.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.