До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - [33]
/8! + ...).
Пусть М — сообщение, а С — зашифрованное сообщение (или криптограмма). Предположим, что оба они — натуральные числа. Обозначим через ƒ функцию, которая преобразует М в С: ƒ(M) = С. Чтобы зашифровать М, выбирают два очень больших простых числа, р и q, и определяют модуль, который мы назовем n, так что n = pq и n > М. Выберем такое е, что 1 < е < φ(n), а е и φ(n) взаимно простые числа. Открытый ключ состоит из n и е, и он всем известен. Поскольку n — очень большое число, узнать значение р и q невозможно. Мы имеем E = ƒ(M) ≡ M>e (mod n). Назовем закрытым ключом пару n, d, где d выбрано так, что de ≡ 1 (mod φ(n)). Поскольку ρ и q — простые числа, a pq = n, получим, что φ(n) = (р - 1)(q - 1); если мы не знаем p и q, а узнать их фактически невозможно, то мы не можем узнать и φ(n). Следовательно, мы не можем узнать d. Но у получателя есть значение d, следовательно, он знает р и q и может перейти к расшифровке сообщения: E>d ≡ (M>e)>d (mod n) ≡ М>ed (mod n) ≡ M>Nφ(n)+1 (mod n), N € Ν. Теперь применим малую теорему Ферма. Если а = M>N (a и n почти стопроцентно взаимно простые), то, применяя теорему, мы получаем: E>d ≡ Ма>φ(n) (mod n) ≡ M (mod n) = M, поскольку М < n, как мы договорились в начале.
Из этого объяснения видно, что создать ключ расшифровки довольно легко, поскольку нужны всего два больших простых числа, р и q, а разложить его, напротив, очень трудно.
Список рекомендуемой литературы
Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.
Boyer, C., Historia de la matematica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.
Bradley, R., et Sandifer, E. (editores), Leonhard Euler: life, work and legacy, Amsterdam, Elsevier B.V., 2007.
Dunham, W., Euler, el maestro de todos nosotros, Madrid, Nivola,
2000.
Galindo, A. et al., La obra de Euler: tricentenario del nacimiento de Leonhard Euler (1707-1783), Madrid, Instituto de Espana, 2009.
Stewart, I., Historia de las matemdticos, Madrid, Critica, 2008.
Vargas, G., Calzada, G., Euler, el matemdtico, Madrid, El rompeca- bezas, 2011.
Ars conjectandi 125
Dioptricae 141
Institutiones calculi differentialis 8, 3, 103, 107
Institutiones calculi integralis 8, 13, 103, 107
Introductio in analysin infinitorum 8, 13, 28, 31, 34, 51, 103, 104, 106
Principes généraux du mouvement des fl uides 97
RSA 129
Solutio facilis problematum
quorundam geometricorum diffi cillimorum 91
Vollstàndige anleitung zur algebra 141
алгоритм 64, 120, 138
Апери постоянная 65
Араго, Франсуа 39, 103
барицентр 92
Берлинская академия наук 9, 13, 24, 72, 77, 78, 91, 114, 116
Бернулли
Даниил 24, 37-39, 60, 65, 141
Иоганн 9, 13, 18-24, 61
Николай 24, 84
Якоб 9, 18, 19, 20-24, 48-50, 55, 124
брахистохрона 20-22
Бугер, Пьер 22, 25
Бэббидж, Чарльз 64, 65
Вейерштрасс, Карл 41, 56
Венн, диаграммы 101
Вольтер 39, 75-78
Гаусс, Карл Фридрих 19, 29, 91, 101, 103, 105, 127, 131-133
Герои Александрийский 87
Гзель, Катерина 13, 38, 60, 117
гидродинамика 7, 19, 24, 98
Гольдбах, Кристиан 11, 13, 24, 28, 37-39, 44-46, 50, 62, 82-85, 95, 110, 117, 131
проблема 11, 13, 82-85
граф 67-69
Гюйгенс, Христиан 48, 49, 102
Д’Аламбер, Жан Батист Лерон 71, 77, 78, 90, 91, 99
Декарт 13, 18, 22, 71, 79, 103, 130, 133
Дидона, задача 87
Дидро, Дени 90, 115
диск Эйлера 11, 140
Диофант Александрийский 118, 119
Евклид 26, 57, 94, 103, 130, 132, 135
жидкость 39, 71, 73, 97, 98
зубчатое колесо 7, 116, 117
интеграл 8, 10, 41, 42, 57, 60, 62, 71, 89, 90, 103, 104, 118
инцентр 92, 94
исчисление
вариационное 11, 22, 73, 85, 89, 90, 93, 96, 103, 150
дифференциальное 7, 8,13, 45, 71, 103
интегральное 8, 42, 57, 62, 103
эйлерова пути 18, 68, 69
квадрат 57, 137
греко-латинский 139
латинский 137-139
магический 143
квадратичный закон взаимности 126, 131
Кенигсберг 10, 13, 35, 65-69, 78, 96
Клейн, бутылка 81
Коши, Огюстен Луи 99, 120
криптография 84, 129, 152
круг Эйлера 18, 92
Лавлейс, графиня 64, 65
Лагранж, Жозеф Луи 18, 22, 71, 89, 90, 118, 142, 149, 151
Лаплас, Пьер-Симон 97, 100, 132
Лежандр, Адриен Мари 39, 57, 127, 131-133
Лейбниц, Готфрид 21, 38, 49, 75, 77, 84, 103, 105, 107
логарифм 10, 28, 32-34, 47-51, 56, 58, 106, 127, 145, 146
Лондонское королевское общество 22, 24, 25, 76, 91, 123, 132
Лопиталь, маркиз 19-20
Маклорен, Колин 10, 18, 31, 39, 59, 62, 109, 125
Маскерони, Лоренцо 10, 55-57
математические символы 8, 26, 28, 31, 51, 89, 104, 128, 131
Менголи, Пьетро 61, 107
Мерсенн, Марен 71, 111, 130
мнемоника 54
многогранник 8, 10, 11, 78-82, 93
Мопертюи, Пьер Луи Моро де 76, 77, 88
Муавр, Абрахам де 84, 104, 105, 107, 124
Ньютон, Исаак 7, 13, 18, 21, 22, 31, 88, 103, 105, 107, 142
нестабильность при пиковой нагрузке 96, 97
оптика 7, 45, 102, 141
параллелепипед Эйлера 18, 136
Парижская академия наук 22, 24, 25, 38, 39, 76, 77, 91, 105
Петербургская академия наук 9, 13, 24, 29, 35, 37, 38, 60, 84, 90, 102, 113, 114
"Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях" 100, 141
полиэдр 8, 10, 11, 78-82, 93
принцип наименьшего действия 77, 85, 88, 89, 90
производная 31, 51, 56, 59, 89, 90, 99, 107
прямая Эйлера 11, 18, 91, 92
Рамануджан, Сриниваса Айенгор 110, 123
Риман, Бернхард 39, 43, 98, 127, 149
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.
Задача этой книги — опровергнуть миф о том, что мир математики скучен и скуп на интересные рассказы. Автор готов убедить читателей в обратном: история математики, начиная с античности и заканчивая современностью, изобилует анекдотами — смешными, поучительными и иногда печальными. Каждая глава данной книги посвящена определенной теме (числам, геометрии, статистике, математическому анализу и так далее) и связанным с ней любопытным ситуациям. Это издание поможет вам отдохнуть от серьезных математических категорий и узнать чуть больше о жизни самих ученых.
Из этой книги читатель узнает о жизни и научных достижениях самых выдающихся женщин-математиков разных эпох. Это Гипатия и Лукреция Пископия, Каролина Гершель и Мэри Сомервилль, Ада Лавлейс и Флоренс Найтингейл, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, Грейс Хоппер и Джулия Робинсон. Хотя они жили в разные времена и исследовали разные области математики, всех их объединяла любовь к этой науке, а также стремление сломать сложившиеся в обществе стереотипы. Своим примером они доказали всему миру: женщины обладают такими же интеллектуальными способностями, как и мужчины, и преуспели в математике чуть меньше исключительно по социальным причинам.
Новая книга профессора Московского университета Г. А. Федорова-Давыдова написана в научно-популярной форме, ярко и увлекательно. Она представляет собой очерки истории денежного дела в античных государствах Средиземноморья, средневековой Западной Европе, странах Востока, на Руси (от первых «златников» и «сребреников» князя Владимира до реформ Петра 1)„ рассказывается здесь также о монетах нового времени; специальный раздел посвящен началу советской монетной чеканки. Автор показывает, что монеты являются интересным и своеобразным историческим источником.
Книга в легкой и доступной форме рассказывает об истории электротехники и немного касается самого начального этапа радиотехники. Автор дает общую картину развития знаний об электричестве, применения этих знаний в промышленности и технике. В книге содержится огромное количество материала, рисующего как древнейшие времена, так и современность с её проблемами науки и техники. В русской литературе — это первая попытка дать читателю систематическое изложение накопленных в течение веков фактов, которые представляют грандиозный путь развития учения об электричестве и его практического применения.
Когда у собеседников темы для разговора оказываются исчерпанными, как правило, они начинают говорить о погоде. Интерес к погоде был свойствен человеку всегда и надо думать, не оставит его и в будущем. Метеорология является одной из древнейших областей знания Книга Пфейфера представляет собой очерк по истории развития метеорологии с момента ее зарождения и до современных исследований земной атмосферы с помощью ракет и спутников. Но, в отличие от многих популярных книг, освещающих эти вопросы, книга Пфейфера обладает большим достоинством — она знакомит читателя с интереснейшими проблемами, которые до сих пор по тем или иным причинам незаслуженно мало затрагиваются в популярной литературе.
Сорняки — самые древние и злостные враги хлебороба. Зеленым пожаром охвачены в настоящее время все земледельческие районы земного шара. В книге рассказывается об истории и удивительной жизненной силе сорных растений, об ожесточенной борьбе земледельца с сорняками и путях победы над грозным противником. - Книга в увлекательной и популярной форме рассказывает о борьбе с самым древним и злостным врагом хлеборобов — сорняками (первое издание — 1981 г). В ней даны сведения об истории и биологии сорняков, об их взаимоотношениях с культурными растениями.
Пчелы гораздо древнее, чем люди: когда 4–5 миллионов лет назад предшественники Homo sapiens встретились с медоносными пчелами, те жили на Земле уже около 5 миллионов лет. Пчелы фигурируют в мифах и легендах Древних Египта, Рима и Греции, Индии и Скандинавии, стран Центральной Америки и Европы. От повседневной работы этих трудолюбивых опылителей зависит жизнь животных и людей. Международная организация The Earthwatch Institute официально объявила пчел самыми важными существами на планете, их вымирание будет означать конец человечества.
Многие традиционные советы о том, как преуспеть в жизни, логичны, обоснованны… и откровенно ошибочны. В своей книге автор собрал невероятные научные факты, объясняющие, от чего на самом деле зависит успех и, что самое главное, как нам с вами его достичь. Для широкого круга читателей.