До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - [32]

Самые распространенные основания — это а = 10,а = 2 и а- = е. Логарифмы по основанию 10 называются десятичными, по основанию 2 — двоичными, по основанию е — натуральными. Для натуральных логарифмов используется знак InN вместо log N.

Важным аспектом логарифма является то, что с его помощью упрощаются арифметические вычисления. Например:

Ν₁ · Ν₂ = a^L₁ · a^L₂ = a^L₁+L₂

⇒ log_a(N₁ · N₂) = L₁ + L₂ = log_aN₁ + log_aN₂.

Таким образом, логарифм произведения равен сумме логарифмов его множителей.

Если мы сделаем таблицу с двумя величинами, числами и десятичными логарифмами, то сможем сложить логарифмы и при помощи таблиц легко узнать произведение. И хотя сегодня можно без труда произвести умножение электронными калькуляторами, во времена, когда они еще не существовали, операция, помогающая заменить сложные расчеты в случаях произведений больших величин на простое сложение, имела огромное практическое значение.

2. БАЗЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА

Проследим за хитроумными рассуждениями Эйлера, но не будем забывать, что в некоторых местах они должны быть доработаны. Позже это сделал сам ученый. Возьмем знаменитый ряд Тейлора:

sinx = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

Мы знаем, что он равен нулю при х равном нулю, то есть если sinx = 0, когда х = 0, ± π, ±2π, ±3π...

Следовательно, предположив, что ряд ведет себя как многочлен, поскольку он и является длиннейшим многочленом, применение фундаментальной теоремы алгебры преобразит его в произведение одночленов вида х - α, где α — решение. Продолжим:

x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ... = K(x)(x - π)(x + π)(x - 2π)(x + 2π)...

К — неизвестная константа. Производя вычисления в правой части равенства:

x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ... = K(x)(x² - π²)(x² - 4π²)(x - 9π²)...

следует отметить, что каждый член вида х² - λ²π² справа равен нулю. А это происходит, только если

1 - х²/(λ²π²) = 0.

Запишем члены правого выражения в следующей форме:

x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ... = K(x)(1 - x²/π²)(1 - x²/4π²)(1 - x²/9π²)...

Теперь разделим на x:

sinx/x = 1 - x²/3! + x⁴/5! - x⁶/7! + ... = K(1 - x²/π²)(1 - x²/4π²)(1 - x²/9π²)...

И, поскольку lim_x→0(sinx/x) = 1, получим, что K = 1. Итак:

1 - x²/3! + x⁴/5! - x⁶/7! + ... = (1 - x²/π²)(1 - x²/4π²)(1 - x²/9π²)...

Этот ряд равен бесконечному произведению. Для Эйлера это не проблема. Подсчитаем порядок произведения и выделим члены произведения с x² в правой части:

- x²/3! = -x²/π² - x²/4π² - x²/9π² - ...

Разделив обе части на -x²/π², получим

π²/6 = 1+ 1/2² + 1/2³ + 1/4² + ...,

что и требовалось доказать.

3. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Эйлер был первым математиком, доказавшим тождественность ζ($) как ряда степеней и ζ($) как бесконечного произведения. Назовем р_к простое число, занимающее место k в ряде. Получим

Ниже можно увидеть, каким образом получается это равенство:

Для тех, кто знаком со сложным анализом, дзета-функция может быть расширена до мероморфной во всей комплексной области с простым полюсом s = 1, где остаток равен 1. Это дзета-функция, о которой говорил Риман и которая стала предметом его знаменитой гипотезы.

4. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА — ЛАГРАНЖА

Чтобы упростить, насколько это возможно, наше объяснение, оттолкнемся от предположения, что задействованные в нем функции удовлетворяют всем необходимым условиям на производную и непрерывность.

Обозначим через S функционал (функцию функций), к которому мы применим вариационное исчисление, а через x_1, х₂ — экстремумы неизвестной функции:

S(ƒ) = ∫_x1^x2L(x₁,ƒ(x),ƒ'(x))dx.

Предположим, что решением является ƒ₀ и что функционал имеет здесь минимум; назовем α(x) функцию (которую мы будем "варьировать"), равную нулю в экстремумах x1, х₂. Поскольку в ƒ₀ функционал имеет минимум,

S(ƒ₀)≤S(ƒ₀+εα)

в окрестности ƒ₀. Вариационный размах

ƒ = ƒ₀ + εα

должен удовлетворять:

dS(ƒ₀ + εα)/dε|ε=0 = ∫_x1^x2dL/dε|_ε=0 = 0

Теперь вспомним, что

dƒ/dε = α,dƒ'/dε = α'.

Применим правило дифференцирования и проведем необходимые замены.

Получим

dL/dε = ∂L/∂ƒ dƒ/dε + ∂L/∂ƒ' dƒ'/dε = (∂L/∂ƒ)α + ∂L/∂ƒ'α'

A теперь проинтегрируем по частям и учтем предыдущую формулу:

Поскольку выражение слева — ноль, то нулем будет и выражение справа. Следовательно,

dL/dƒ = d/dx ∂L/dƒ' = 0

Таким образом, мы получили уравнения Эйлера — Лагранжа, которые в приложениях обычно приводят к дифференциальным уравнениям второго порядка.

5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Эйлер вывел свою фундаментальную формулу, из которой впоследствии получил еще несколько из простых рядов Тейлора. Напомним, что степени ведут себя так:

i0 = 1,i1 = i,i2 = -1,i3 = -i,

i⁴ - 1, i⁵ = i, i⁶ = 1,i7 = i и так далее.

Напомним также, что ряды степеней е и тригонометрических функций синус и косинус раскладываются в ряд Тейлора или степенной ряд следующим образом:

ex = x⁰/0! + x¹/1! + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

cosx = x⁰/0! + x²/1! + x⁴/4! + x⁶/6! + ...

sinx = x¹/1! + x³/3! + x5/5! + x⁷/7! + ...

Произведем вычисления:

e^ix = (iz)⁰/0! + (iz)¹/1! + (iz)³/3! + (iz)⁴/4! + (iz)⁵/5! + (iz)⁶/6! + (iz)⁷/7! + (iz)⁸/8! + ... = z⁰/0! + i(z¹/1!) + z²/2! + i(z³/3!) + z⁴/4! + i(z⁵/5!) + z⁶/6! + i(z⁷/7!) + z⁸/8! + ... = (z⁰/0! + z²/2! + z⁴/4! + z⁶/6! + z⁸/8! + ...) + i(z¹/1! + z³/3! + z⁴/4! + z⁶/6! + z⁸