Дискретная математика без формул - [3]
С другой стороны, если вдруг ректор решит рассматривать университет, как множество студенческих групп, то группа ух-003 станет элементом множества студенческих групп университета. Тут ничего страшного, если понимать, что множество студентов университета и множество студенческих групп университета – два разных множества.
Впрочем, нас бюрократическими закорючками не удивишь мы и не такое в жизни видим каждый день…
Но, все-таки, теории множеств есть чем удивить даже нас. Это, так называемые парадоксы теории множеств – одно из потрясений первого года прошлого столетия для узкого круга людей.
Поясним на знаменитом примере про брадобрея.
Правитель (вроде Петра I) повелел единственному брадобрею в своем царстве-государстве брить всех тех и только тех, кто не бреется сам. А наказание за ослушание – казнь. Вот брадобрей и бросился брить всех небритых. В конце-концов дошло до того, что он сам зарос бородой… Он взял бритву. Но если он начнет бриться, значит он бреется сам, а таких он брить не имеет права.
Отложив бритву, он понял, что он сам не бреется. Значит он должен взять бритву и… И что?! А ничего хорошего! Казнят бедолагу за нарушение приказа в любом случае!
С точки зрения теории множеств брадобрей в данном случае не смог определиться с (фундаментальным!) отношением принадлежности: включать или не включать себя самого в множество тех, кто не бреется сам.
То есть в основе теории множеств, которая претендует на роль фундамента ВСЕЙ математики, начальное базовое отношение принадлежности выкидывает такие фортеля, которые просто не позволяют создать некоторые из множеств!… Математики приняли единственное разумное решение: Договорились не создавать в рамках теории множеств такие множества, которые нельзя создать!
То есть теория множеств оперирует со всеми множествами, кроме тех, которые нельзя создать. Все эти множества, об'единенные в одно множество, называются УНИВЕРСУМОМ.
Лекция 2. БЕСКОНЕЧНОСТЬ БЫВАЕТ РАЗНАЯ
Самое интересное в теории множеств то, что она рассматривает не только конечные множества – множества, содержащие конечное число элементов, но и бесконечные, для которых даже понятие числа бессмысленно. То есть, теория множеств может рассматривать не только множество студентов в группе и множество березок в лесу, но и множество точек на прямой, и множество звезд на небе…
Основоположник теории множеств Георг Кантор именно из-за бесконечности попортил себе много крови, да так крепко попортил, что пришлось подключаться врачам-психиатрам. Хотя с бесконечностью математики до него уже давным-давно работали. Взять то же бесконечно большое множество точек на прямой или наоборот, бесконечно малые величины из высшей математики…
Но вся беда в том, что ни один живой человек не видел, не слышал, не щупал бесконечности! Поэтому до Кантора математики признавали и использовали так называемую ПОТЕНЦИАЛЬНУЮ бесконечность. Самый кондовый пример – это понятие бесконечно большого числа в высшей математике. Бесконечно большое число это число, которое больше любого наперед заданного. Если человек не понимает, о чем речь, то его просят назвать самое большое число в мире!… Образованный человек обычно называет число миллиардмиллиардов. А ему об'ясняют, что бесконечно большое число больше этого числа – «даже больше чем на еще миллиардмиллиардов».
То есть у нас с вами всегда в запасе есть число потенциально(!) большее, чем придумает эрудит…
Кантор же позволил себе в математике АКТУАЛЬНУЮ бесконечность. То есть то, что до этого могли позволить себе лишь поэты, с которых, как известно, никто строго не спросит… «звездам числа нет, бездне дна». Поэты не любят, чтобы по крохам, по каплям… Любят, чтоб сразу! "Вот она, ВСЯ бездна вашего падения!… Дарю тебе ВСЕ звезды – такой ничтожной малости, для тебя моя, бесценная-единственная, не жалко!"… То есть по Кантору бесконечность существует сразу вся. А раз бесконечные множества есть, и сразу целиком, то с ними можно производить математические манипуляции. Их даже можно сравнивать на больше-меньше.
Поэтому Кантор начал задавать себе «поэтические» вопросы и искать на них математические ответы. Один из ключевых вопросов: "БЕСКОНЕЧНО МНОГО – это всегда ОДИНАКОВО БЕСКОНЕЧНО МНОГО? Или могут быть большие и меньшие бесконечности?"
Чего больше, звезд на небе или точек на прямой?…
Кантор доказал великую теорему, из которой следует, что бесконечности могут быть разные по величине. Поскольку «число» и «количество» – слова в этом случае неуместные, то он ввел термин «мощность». Мощность – это то что остается, когда нас не интересует сущность элементов множества и порядок, в котором они располагаются. То есть, он определил понятие мощности строго, хотя определение и кажется на первый взгляд странным. На второй взгляд этого, обычно, так уже не кажется. От множества студентов останется только мощность, если мы перестанем их различать и будем воспринимать их вне всякого порядка (в естественных условиях).
Увы, приводить примеры множеств, имеющих бесконечную мощность, используя березки и студентов, не получится вообще, а звезды далеки и видны только ночью. Поэтому обратимся для наглядности к находящимся рядом с нами числам.
Третья книга - сборник статей из рубрики STORY журнала «Коммерсантъ ДЕНЬГИ» - в отличие от первых двух обращается не к судьбам отдельных людей или компаний, а к событиям глобального масштаба, раз и навсегда изменившим уклад, традиции, сами основы существования целых обществ, стран и континентов.Неудивительно, что весьма драматичную роль во всех этих историях играли деньги, причем порой самым неожиданным образом. Кто на самом деле разбогател на золотой лихорадке? Чьим экономическим интересам угрожал Павел I? Как быстро можно уничтожить весь Интернет? Ответы на эти и другие вопросы вы найдете в книге «знаковые моменты».Повседневная жизнь обычно проплывает перед нашими глазами неторопливой чередой малозначимых событий и почти бессмысленной суеты.
Эта книга – о крупнейших российских предпринимателях, в прошлом сильных мира сего, ставших изгоями в своем отечестве. Одни из них вынуждены скрываться на чужбине, другие отбывают или уже отбыли срок в местах заключения за преступления реальные или мнимые, третьих нет в живых. Эти люди – первопроходцы российского бизнеса, люди неоднозначные, но, безусловно, яркие, сильные и умные. Но, по сути, сегодня им нет места в нашем обществе.Почему и как это случилось – расскажет наша книга. Впечатляющие истории, собранные здесь, – не огульные обвинения или нападки на предпринимателей, а рассказ о живых людях и сложных, неоднозначных, порой печальных и постыдных сторонах и свойствах российского бизнеса, судопроизводства и власти.Книга для широкого круга читателей.
Эта книга – о «выдающихся» ворах и грабителях. О тех, кто прославил свое имя на крови либо благодаря хитроумным комбинациям и отчаянной наглости. Для них мало значила человеческая жизнь, на первом месте стоял азарт и жажда наживы.Как они становились преступниками и как их ловили? Что привело их к воровству и к чему привело воровство? Как наказывает грабителей суд человеческий и как карает их суд Божий?..Станьте соучастником захватывающих авантюр, где сплелось все: воровская любовь и любовь к воровству; страшное, смешное, глупое и грустное; преступление и наказание…
В этой книге собраны опубликованные в разное время в журнале «Коммерсантъ. Деньги» в рубрике «Story» истории жизни тех, кто в разные времена повелевал умами, кошельками, душами, да и жизнями тысяч, а то и миллионов людей. Наши герои жили в разные эпохи, их свершения можно оценивать по-разному - кто-то оставил после себя выдающиеся произведения искусства или россыпь новых технологий, кто-то - основополагающую теорию или глобальную идею, а кто-то - развалины мифа или потрясающую по размаху, эффективности и жестокости преступную империю.
Профессия – это больше, чем специальность. Наша книга – своего рода «введение в профессию», а точнее – в мир профессионалов. «Выбор профессии» – своеобразный гид, в котором вместо стран – профессии, а вместо достопримечательностей – люди этих профессий.Здесь вы найдете информацию о 20 профессиях – от самых массовых и традиционных (учитель, врач, воин) до суперпрестижных (топ-менеджер, адвокат, политик). Все герои – настоящие мастера, знающие свое дело вдоль и поперек, а их профессии востребованы, нужны здесь и сейчас.
Эта книга – о самых масштабных или просто жутких катастрофах, когда-либо обрушивавшихся на человечество.Эпидемии и стихийные бедствия, войны и аварии с завидной регулярностью разрушали и разрушают, убивали и убивают, ставя под угрозу само существование человечества или, по крайней мере, значительной его части.Что удивительно, самые разнообразные беды и напасти обнаруживают пугающе сходные характеристики… Как итог, пять глав, которые авторы объединили в книгу, по сути, повествуют о фактическом противостоянии человека и окружающего мира.
Таблицу умножения перестроена, сделана новая картинка. Объём материала для запоминания сокращён примерно в 5 раз. Можно использовать самую сильную – зрительную память (в прежних картинках таблицы это невозможно). Ученики запоминали таблицу за один – полтора месяца. В ней всего 36 "домиков". Умножение и деление учаться одновременно. Книга обращена к детям, объяснение простое и понятное. Метод позволяет намного облегчить деление с остатком и сокращение дробей. Метод признан Министерством Просвещения России как полезная инновация (Муниципальное образование, инновации и эксперимент 2013/1)
Галилео Галилею принадлежат слова: «Книга природы написана на языке математики». Спустя почти четыре столетия мы не устаем удивляться тому, что математические методы прекрасно подходят для описания нашего мира. Еще большее изумление вызывают естественнонаучные открытия, сделанные на основе математического анализа уравнений. Создание любой сложной конструкции – от хитроумной дорожной развязки до квантового компьютера – сопряжено с математическими расчетами. Для полноценного понимания действия гравитации или квантовых явлений нам также не обойтись без математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
В книге раскрываются математические загадки, зашифрованные в приключенческих и фантастических рассказах известных авторов Герберта Уэллса, Жюля Верна, Курда Лассвица и др. Возможно ли путешествие на мыльном пузыре? Существует ли механизм для произвольного движения в четвертом измерении? Ответы на эти и другие — непременно интересные — вопросы любознательный читатель найдет здесь.