Дискретная математика без формул - [2]
Кроме понятия множества есть еще лишь одно исходное базовое понятие – и все. Остальное в этой теории производно. Так вот, второе базовое понятие – это ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ (или «отношение принадлежности»). То есть «элемент принадлежит множеству». Тут, тем более, нечего определять, имея в виду что слово «принадлежит» в обыденной речи можно заменять, с учетом контекста, многими синонимами, вроде:
– Та березка «находится» в этом лесу,
– Сидоров «числится» в студентах,
– Мистер Х «входит» в число ваших бедных американских родственников.
Примечание. Чтобы избежать синонимов, которые могут нас запутать, можно бы было ввести специальный маленький значок, напоминающий греческую букву эпсилон. Но мы этого делать не будем, поскольку от этого значка до формул уже рукой подать…
Важное предостережение. Вопросы, вроде: «Принадлежит ли студент Сидоров множеству лысеющих людей?» уводят нас в сторону от теории множеств и мы такие вопросы будем просто игнорировать, справедливо считая, что классическая теория множеств лысеющими просто не занимается, коль скоро нет об'ективных оценок лысости. А значит вопрос принадлежности – непринадлежности можно утрясти неформально, например за вознаграждение. Выход здесь очень простой. Сначала определиться четко с лысиной где-то в другом официальном месте, а потом привлекать теорию множеств.
То есть предполагается, что мы всегда четко знаем, что принадлежит данному множеству, а что нет! Остальное считаем несуществующим вообще!!!
Далее, если мы хотим сказать, что все березки (березка, не то что лысеющий человек – она и в Африке березка), находящиеся в данном лесу, принадлежат и всему лесному богатству нашей страны, а все студенты, которые числятся в университете, числятся и студентами России, то для сокращения фраз используются термины ПОДМНОЖЕСТВО или ВКЛЮЧЕНО.
Здесь тоже могут быть очевидные синонимы. Но чтобы в них не запутаться и попросту не перепутать с «принадлежит», нужно помнить одну простую вещь: «принадлежит» относится к случаю, когда "ЭЛЕМЕНТ принадлежит МНОЖЕСТВУ", а «включено» – когда "МНОЖЕСТВО включено в МНОЖЕСТВО". Потому-то второй вариант для обозначения «включено» – «подмножество» – то есть какая-то часть множества.
Множество студентов университета «включено» в множество студентов страны. То есть множество студентов университета «есть подмножество» множества студентов страны.
Тем, кто не сломал при этом язык, ясно, что множество студентов страны «включено» во всемирное множество студентов.
Можно продолжить эту цепочку включений, прихватив галактику. Но тогда следует, что множество студентов университета есть подмножество множества студентов галактики.
Это свойство цепочек просто и строго(!) доказывается прямо на основании того, как мы определили отношение включения.
У отношения включения есть ряд любопытных свойств. Не нами придуманных. Они могут быть обнаружены любым исследователем, если он «поиграет» с этим отношением.
Например, можно сказать, что множество студентов группы ух-001 включено в множество студентов университета, поскольку такая группа в университете числится. То, что из группы отчислены все студенты, для математики никакой роли не играет. Поскольку, НЕТ ни одного студента, числящегося в этой группе, который бы не числился в университете. Такого рода рассуждения совершенно корректно можно применить к любым пустым множества и сделать обобщающий вывод, что пустое множество включено в любое множество, в том числе и в себя.
Оцените математическую красоту фразы:
Любой элемент, принадлежащий множеству, не содержащему ни одного элемента, принадлежит и любому другому множеству, которое не содержит ни одного элемента.
Чуть менее красива фраза:
Любое множество является собственным подмножеством.
Или то же самое, но более жестоко:
Любое множество включено само в себя.
Действительно, группа ух-002 (в которой, вполне возможно, есть студенты) включена в группу ух-002, поскольку все студенты, которые в ней числятся по-прежнему числятся в ней, даже если ее название ух-002 упоминается несколько раз.
Из последнего примера можно сделать важный вывод. Если два множества (возможно на первый взгляд различные, вроде множества чиновников и множества слуг народа) включены друг в друга, то эти множества равны – то есть состоят из одних и тех же элементов.
Можно сказать чуть иначе: Если два множества являются подмножествами друг друга, то они состоят из одних и тех же элементов.
А как же иначе?!…
Правда, есть математики-диссиденты, которые это не признают. Но это скорее уже вопрос веры… другой математической конфессии…
А теперь следует признать, что математики сродни той категории больных людей, которых называют «правдоискателями». Как правило искатели (социальной) правды правы. Но их правота или бессмысленна, или нереальна, а главное, никому кроме них не нужна… Так вот и в теории множеств часто можно найти правду, которая для посторонних людей может выглядеть, мягко выражаясь, странной и вредной.
Например, студент Хведоров не может быть подмножеством студентов университета, поскольку он сам не множество, а элемент. Поэтому он, как элемент, может быть лишь элементом множества студентов университета. А вот группа ух-003, как множество студентов, есть полноправное подмножество множества студентов университета. Но группа ух-003 состоит всего лишь из одного неотчисленного студента. Того самого Хведорова! Вот и получается, что сам Хведоров не может быть подмножеством, но группа, состоящая из него одного, может.
Третья книга - сборник статей из рубрики STORY журнала «Коммерсантъ ДЕНЬГИ» - в отличие от первых двух обращается не к судьбам отдельных людей или компаний, а к событиям глобального масштаба, раз и навсегда изменившим уклад, традиции, сами основы существования целых обществ, стран и континентов.Неудивительно, что весьма драматичную роль во всех этих историях играли деньги, причем порой самым неожиданным образом. Кто на самом деле разбогател на золотой лихорадке? Чьим экономическим интересам угрожал Павел I? Как быстро можно уничтожить весь Интернет? Ответы на эти и другие вопросы вы найдете в книге «знаковые моменты».Повседневная жизнь обычно проплывает перед нашими глазами неторопливой чередой малозначимых событий и почти бессмысленной суеты.
Эта книга – о крупнейших российских предпринимателях, в прошлом сильных мира сего, ставших изгоями в своем отечестве. Одни из них вынуждены скрываться на чужбине, другие отбывают или уже отбыли срок в местах заключения за преступления реальные или мнимые, третьих нет в живых. Эти люди – первопроходцы российского бизнеса, люди неоднозначные, но, безусловно, яркие, сильные и умные. Но, по сути, сегодня им нет места в нашем обществе.Почему и как это случилось – расскажет наша книга. Впечатляющие истории, собранные здесь, – не огульные обвинения или нападки на предпринимателей, а рассказ о живых людях и сложных, неоднозначных, порой печальных и постыдных сторонах и свойствах российского бизнеса, судопроизводства и власти.Книга для широкого круга читателей.
Эта книга – о «выдающихся» ворах и грабителях. О тех, кто прославил свое имя на крови либо благодаря хитроумным комбинациям и отчаянной наглости. Для них мало значила человеческая жизнь, на первом месте стоял азарт и жажда наживы.Как они становились преступниками и как их ловили? Что привело их к воровству и к чему привело воровство? Как наказывает грабителей суд человеческий и как карает их суд Божий?..Станьте соучастником захватывающих авантюр, где сплелось все: воровская любовь и любовь к воровству; страшное, смешное, глупое и грустное; преступление и наказание…
В этой книге собраны опубликованные в разное время в журнале «Коммерсантъ. Деньги» в рубрике «Story» истории жизни тех, кто в разные времена повелевал умами, кошельками, душами, да и жизнями тысяч, а то и миллионов людей. Наши герои жили в разные эпохи, их свершения можно оценивать по-разному - кто-то оставил после себя выдающиеся произведения искусства или россыпь новых технологий, кто-то - основополагающую теорию или глобальную идею, а кто-то - развалины мифа или потрясающую по размаху, эффективности и жестокости преступную империю.
Профессия – это больше, чем специальность. Наша книга – своего рода «введение в профессию», а точнее – в мир профессионалов. «Выбор профессии» – своеобразный гид, в котором вместо стран – профессии, а вместо достопримечательностей – люди этих профессий.Здесь вы найдете информацию о 20 профессиях – от самых массовых и традиционных (учитель, врач, воин) до суперпрестижных (топ-менеджер, адвокат, политик). Все герои – настоящие мастера, знающие свое дело вдоль и поперек, а их профессии востребованы, нужны здесь и сейчас.
Эта книга – о самых масштабных или просто жутких катастрофах, когда-либо обрушивавшихся на человечество.Эпидемии и стихийные бедствия, войны и аварии с завидной регулярностью разрушали и разрушают, убивали и убивают, ставя под угрозу само существование человечества или, по крайней мере, значительной его части.Что удивительно, самые разнообразные беды и напасти обнаруживают пугающе сходные характеристики… Как итог, пять глав, которые авторы объединили в книгу, по сути, повествуют о фактическом противостоянии человека и окружающего мира.
Таблицу умножения перестроена, сделана новая картинка. Объём материала для запоминания сокращён примерно в 5 раз. Можно использовать самую сильную – зрительную память (в прежних картинках таблицы это невозможно). Ученики запоминали таблицу за один – полтора месяца. В ней всего 36 "домиков". Умножение и деление учаться одновременно. Книга обращена к детям, объяснение простое и понятное. Метод позволяет намного облегчить деление с остатком и сокращение дробей. Метод признан Министерством Просвещения России как полезная инновация (Муниципальное образование, инновации и эксперимент 2013/1)
Галилео Галилею принадлежат слова: «Книга природы написана на языке математики». Спустя почти четыре столетия мы не устаем удивляться тому, что математические методы прекрасно подходят для описания нашего мира. Еще большее изумление вызывают естественнонаучные открытия, сделанные на основе математического анализа уравнений. Создание любой сложной конструкции – от хитроумной дорожной развязки до квантового компьютера – сопряжено с математическими расчетами. Для полноценного понимания действия гравитации или квантовых явлений нам также не обойтись без математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
В книге раскрываются математические загадки, зашифрованные в приключенческих и фантастических рассказах известных авторов Герберта Уэллса, Жюля Верна, Курда Лассвица и др. Возможно ли путешествие на мыльном пузыре? Существует ли механизм для произвольного движения в четвертом измерении? Ответы на эти и другие — непременно интересные — вопросы любознательный читатель найдет здесь.