Дискретная математика без формул - [16]
Эти три базовых функции могут использоваться далее в качестве исходного материала для создания более сложных функций с помощью трех операторов: суперпозиции, примитивной рекурсии и наименьшего корня.
Известный хорошо еще со школы ОПЕРАТОР СУПЕРПОЗИЦИИ позволяет вместо аргумента подставлять функцию… «Игла в яйце, а яйцо в ларце»…
Дольше словами описывать ОПЕРАТОР ПРИМИТИВНОЙ РЕКУРСИИ. Но если поднатужиться, то можно понять. Этот оператор позволяет построить новую функцию из двух функций, одна из которых имеет на один аргумент меньше, а другая на один аргумент больше.
Значение создаваемой функции для нулевого значения выбранного аргумента приравнивается к функции, не имеющей как раз этого аргумента. Значение же создаваемой функции для всех прочих
(ненулевых) значений выбранного аргумента приравнивается другой функции, зависящей (напрягитесь!) от тех же аргументов, кроме выбранного; от ПРЕДЫДУЩЕГО значения выбранного аргумента и от создаваемой функции от предыдущего значения выбранного аргумента.
Ну как тут не пожалеть о формулах.
Хотя, на самом-то деле мы со школы сталкиваемся с такого рода функциями, но, как тот герой, только на старости лет узнаем, что говорим прозой. Приведем построение с помощью рекурсии всем известной двухместной функции умножения икс на игрек (считая выбранной переменной игрек).
Функцию умножения икс на ноль можно выразить через нуль-функцию от икс, которая обеспечит нам желанное значение – ноль.
Функцию умножения икс на игрек (отличный от нуля) можно выразить через функцию сложения икса со значением функции умножения икса на предыдущее значение игрека… То есть мы выразили умножение через сложение.
Здесь следует сделать два замечания. Считаем, что к этому моменту доказана рекурсивность используемой здесь функция сложения. И второе, при умножении икс на игрек в нашем распоряжении функция от трех аргументов. Но, применив проектирующую функцию мы избавимся от среднего аргумента, коль скоро он нам здесь не нужен. Нам ведь дозволено заниматься подбором из возможного!
Последний оператор – ОПЕРАТОР НАИМЕНЬШЕГО КОРНЯ. Его необходимость просто об'яснить хотя бы тем, что рекурсивные функции, призванные решать любые алгоритмически разрешимые задачи, сами используют лишь целые положительные числа. А это не позволяет решить даже детскую задачку: 5 – 8 =? (Нет для рекурсивных функций отрицательных чисел). На самом-то деле эти детские задачки можно решить по-детски. Договориться, что 1000 это (сдвинутый) ноль, а вычитание – есть сложение с «отрицательным» числом! Тогда
1005 + 992 = 1997 (приведение к шкале: 1997 – 1000 = 997)
Поскольку мы при этом сдвиг нуля учли дважды, то окончательный результат (в системе с один раз сдвинутым на 1000 нулем) будет 997. Но это детское решение лишь говорит о том, что без отрицательных чисел и в школе можно обойтись. Как и в древнем Риме обходились. Правда там и без нуля обходились, а здесь он нам нужен позарез.
Именно оператор наименьшего корня и следит, при каком значении выбранного аргумента наблюдаемая им функция впервые опустится до нуля. Это значение выбранного аргумента и будет значением оператора наименьшего корня. Например, для функции икс минус игрек при иксе равном 5, значение оператора наименьшего корня также будет равно 5, поскольку двигаясь в значениях игрека от нуля получим нулевое значение функции именно при игрек равном 5.
Базовые функции и функции, которые могут быть построены из них с помощью операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и наименьшего корня, образуют множество ЧАСТИЧНО-РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ. А множество частично-рекурсивных функций совпадает с множеством всех алгоритмически разрешимых задач (множеством всех вычислимых функций). Кстати, за слово «частичные» надо благодарить оператор наименьшего корня, из-за которого в множество построенных функций входят и не всюду определенные (частичные) функции.
Тьюринг не был автостроителем. Машина Тьюринга не предполагает двигателя внутреннего сгорания, поскольку все там перемещается исключительно силой мысли. Это математическая модель. Она чем-то может и напоминающая автомашину, но не более чем машину напоминает магнитофон, в котором лента (разделенная на ячейки) неподвижна, а считывающе-записывающая головка вдоль нее ездит. Хуже того, ездит головка рывками, от ячейки к ячейке. А в ячейках записаны символы. (Чтобы не было пустых ячеек, в пустые ячейки записывают специальный пустой символ).
В машине Тьюринга есть устройство управления, имеющее память «состояний» и работающее по задаваемой программе (алгоритму). Программа состоит из команд. Каждая «команда» состоит в следующем: Машина читает символ из ячейки, против которой стоит головка (находясь в каком-то состоянии [вначале – в начальном]), записывает в эту ячейку символ (может и тот же самый), меняет свое состояние (может сохранить прежнее) и делает шаг влево или вправо (может остаться на месте).
Так Машина ходит вдоль ленты до тех пор, пока не перейдет в специальное состояние, называемое заключительным. Это говорит об окончании работы Машины (алгоритма). А на ленте остается результат (решения).
Эта книга – о «выдающихся» ворах и грабителях. О тех, кто прославил свое имя на крови либо благодаря хитроумным комбинациям и отчаянной наглости. Для них мало значила человеческая жизнь, на первом месте стоял азарт и жажда наживы.Как они становились преступниками и как их ловили? Что привело их к воровству и к чему привело воровство? Как наказывает грабителей суд человеческий и как карает их суд Божий?..Станьте соучастником захватывающих авантюр, где сплелось все: воровская любовь и любовь к воровству; страшное, смешное, глупое и грустное; преступление и наказание…
Эта книга – о крупнейших российских предпринимателях, в прошлом сильных мира сего, ставших изгоями в своем отечестве. Одни из них вынуждены скрываться на чужбине, другие отбывают или уже отбыли срок в местах заключения за преступления реальные или мнимые, третьих нет в живых. Эти люди – первопроходцы российского бизнеса, люди неоднозначные, но, безусловно, яркие, сильные и умные. Но, по сути, сегодня им нет места в нашем обществе.Почему и как это случилось – расскажет наша книга. Впечатляющие истории, собранные здесь, – не огульные обвинения или нападки на предпринимателей, а рассказ о живых людях и сложных, неоднозначных, порой печальных и постыдных сторонах и свойствах российского бизнеса, судопроизводства и власти.Книга для широкого круга читателей.
В этой книге собраны опубликованные в разное время в журнале «Коммерсантъ. Деньги» в рубрике «Story» истории жизни тех, кто в разные времена повелевал умами, кошельками, душами, да и жизнями тысяч, а то и миллионов людей. Наши герои жили в разные эпохи, их свершения можно оценивать по-разному - кто-то оставил после себя выдающиеся произведения искусства или россыпь новых технологий, кто-то - основополагающую теорию или глобальную идею, а кто-то - развалины мифа или потрясающую по размаху, эффективности и жестокости преступную империю.
Третья книга - сборник статей из рубрики STORY журнала «Коммерсантъ ДЕНЬГИ» - в отличие от первых двух обращается не к судьбам отдельных людей или компаний, а к событиям глобального масштаба, раз и навсегда изменившим уклад, традиции, сами основы существования целых обществ, стран и континентов.Неудивительно, что весьма драматичную роль во всех этих историях играли деньги, причем порой самым неожиданным образом. Кто на самом деле разбогател на золотой лихорадке? Чьим экономическим интересам угрожал Павел I? Как быстро можно уничтожить весь Интернет? Ответы на эти и другие вопросы вы найдете в книге «знаковые моменты».Повседневная жизнь обычно проплывает перед нашими глазами неторопливой чередой малозначимых событий и почти бессмысленной суеты.
Продолжение бизнес-бестселлеров «Бизнес есть бизнес» и «Бизнес есть бизнес 2», победителей премии «Бизнес-книга года» журнала «Свой бизнес» 2006 года. Эта книга о тех, кто всегда понимался с колен, какой бы сильный удар ни пришлось им получить, о тех, кто всегда готов начинать свое дело с нуля снова и снова, не умеет сдаваться, ломаться под давлением обстоятельств. Герои книги уверены, что свой шанс преуспеть есть практически у каждого. Что для этого необходимо? Да ничего нового - вера в себя, упорный труд и толика удачи.
Эта книга – о самых масштабных или просто жутких катастрофах, когда-либо обрушивавшихся на человечество.Эпидемии и стихийные бедствия, войны и аварии с завидной регулярностью разрушали и разрушают, убивали и убивают, ставя под угрозу само существование человечества или, по крайней мере, значительной его части.Что удивительно, самые разнообразные беды и напасти обнаруживают пугающе сходные характеристики… Как итог, пять глав, которые авторы объединили в книгу, по сути, повествуют о фактическом противостоянии человека и окружающего мира.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.