Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр - [4]
В одном из своих основных трудов Liber quadratorum («Книга квадратов»), опубликованном в 1225 году, Фибоначчи описывает математический турнир, прошедший при дворе короля Сицилии Федериго II, на котором он нанес поражение Иоанну Палермскому. На этих интеллектуальных турнирах, проводимых в подлинно средневековом стиле, каждый участник должен был предложить сопернику определенное число задач. Победителем объявлялся тот, кто решил больше задач за меньшее время. При этом должно было выполняться еще одно условие: участник, предложивший задачу, должен был знать ее решение. Одна из задач, упомянутых Фибоначчи, формулируется так: нужно найти такое число, что если прибавить или вычесть из его квадрата 5, то в обоих случаях результатами также будут квадраты. Любопытно, что число 1225, совпадающее с годом публикации «Книги квадратов», является квадратом. Это единственный год жизни Фибоначчи, обладающий подобным свойством: предыдущим квадратом является 1156, а следующим — 1296.
Примерно в то же время арабский писатель и ученый Ибн-Халликан первым изложил знаменитую легенду об изобретателе шахмат, «Историю Сисса бен Дахира и индийского короля Ширхама» (1256). По легенде, Ширхам так полюбил игру в шахматы, придуманную Сиссой бен Дахиром, что разрешил ему выбрать себе любой подарок, какой тот пожелает. Сисса попросил короля положить пшеничное зернышко на первую клетку доски, 2 — на вторую, 4 — на третью, 8 — на четвертую и так далее до клетки 64, каждый раз удваивая число зерен. Правитель посчитал эту просьбу слишком скромной, но затем увидел, что ему никогда не удастся выполнить ее. Действительно, 2>0 + 2>1 + ...+ 2>62 + 2>63 = 2>64 - 1 = 18446744073709551615, что в разы превышает весь годовой урожай пшеницы во всем мире.
Страница из«Книги абака» Фибоначчи.
Также в XIII веке, точнее в 1283 году, согласно повелению короля Альфонсо X Мудрого была написана «Книга игр» (Libro de los juegos). Хотя в ней больше внимания уделяется играм, чем математике, она содержит интересный анализ типов игр (как азартных, так и стратегических), популярных в то время, а также все знания, накопленные на тот момент относительно выигрышных стратегий для этих игр. Помимо шахмат и различных азартных игр, в этой книге описывается алькерк — «стратегическая» игра, то есть та, в ход которой не вмешивается случай. Это старейшая из известных нам игр такого типа.
В 1283 году король Альфонсо X Мудрый повелел написать «Книгу игр», известную также под названием «Книга шахмат, игр в кости и доски». Книга содержит 98 страниц со 150 цветными иллюстрациями. В ней рассказывается о наиболее известных настольных играх той эпохи: шахматах, алькерке, играх в кости и других настольных играх, среди которых отметим нарды.
Единственное издание этой книги хранится в библиотеке монастыря Сан-Лоренцо дель Эскориал близ Мадрида. Это первая из книг в истории западной цивилизации, посвященная настольным играм. Содержащаяся в книге информация и великолепные цветные иллюстрации обладают огромной ценностью. Благодаря «Книге игр» до нас дошли сведения об играх, популярных на Пиренейском полуострове 800 лет назад.
Иллюстрация из«Книги игр»Альфонсо X Мудрого, на которой изображена игра в алькерк.
Алькерк — игра для двух игроков, описанная в «Книге игр» Альфонсо X Мудрого. Доска имеет размеры 5x5 клеток, у каждого игрока 12 фишек. Они располагаются на доске так, что центральная клетка остается незанятой. Цель игры — убрать с доски все фишки соперника. В этом алькерк очень похож на современные шашки. Первое письменное упоминание об этой игре встречается в арабской рукописи X века «Китаб аль-Агхани», где алькерк фигурирует под названием киркат. Это позволяет предположить, что на Пиренейский полуостров игру занесли арабы. Однако многие источники дают основания полагать, что игра намного древнее: археологами были найдены старинные доски для алькерка и рисунки, которые также могли использоваться для игры.
С другой стороны, множество версий этой игры на той же доске существовало в Индии и Марокко, на досках другой формы — в Индии и на Шри-Ланке. Существует множество похожих игр, начиная от традиционных шашек и заканчивая фанороной с острова Мадагаскар или игрой авитлаканнаи североамериканских индейцев зуни.
Сверху вниз: стартовые позиции при игре в алькерк, фанорону и авитлаканнаи.
Игры и математика в эпоху Возрождения
Математику эпохи Возрождения представляют главным образом итальянские алгебраисты, среди которых Тарталья, Кардано, Бомбелли, Феррари и дель Ферро, которые занимались в основном алгеброй и решением уравнений. Говоря о математике и играх, прежде всего следует упомянуть Тарталью и особенно Кардано. Самоучка, ставший преподавателем математики, Никколо Фонтана (1499—1557), известный под именем Тарталья («заика»), знаменит благодаря найденному им алгоритму решения кубических уравнений. Также он первым перевел на итальянский язык работы Евклида и Архимеда. Соперничая со Сципионом дель Ферро в духе средневековых турниров, Тарталья одержал победу, решив все предложенные соперником задачи, большинство из которых заключались в решении кубических уравнений. По-видимому, именно это привлекло внимание Кардано, который попросил показать ему формулу для решения подобных уравнений. Тарталья согласился, и Кардано не замедлил опубликовать его результаты под своим именем, чем сильно обидел Тарталью.
