Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр - [14]
Игра 5: Мариенбад
На столе четыре кучки фишек. В кучках лежат 1, 3, 5 и 7 фишек. На каждом ходу игрок берет любое число фишек из выбранной кучки (минимум одну фишку, максимум все). Выигрывает тот, кто забирает последнюю фишку. Для какого игрока существует выигрышная стратегия?
Аналогично предыдущему случаю получим:
1 в двоичной системе: 1
3 в двоичной системе: 11
5 в двоичной системе: 101
7 в двоичной системе: 111
Так как в начальной позиции суммы цифр в каждом столбце четные, первый игрок не может выиграть. Выигрышная стратегия существует для второго игрока. Любой ход первого игрока сделает сумму цифр хотя бы в одном столбце нечетной. Допустим, что первый игрок взял одну фишку из кучки с тремя фишками. Получим:
1 в двоичной системе: 1
2 в двоичной системе: 10
5 в двоичной системе: 101
7 в двоичной системе: 111
В начале 50-х годов XX века инженеры английской компании Ferranti создали первый компьютер, предназначенный только для игр. Он назывался NIMROD. Первые три буквы NIM означали игру, для которой он и был спроектирован. На панели компьютера находились светящиеся лампочки, которые представляли положение фишек в игре. Прототип компьютера был представлен на выставке «Фестиваль Британии» в 1951 году. Считается, что это послужило началом эпохи электронных игр.
Теперь второй игрок должен сделать такой ход, чтобы сумма цифр в правом столбце стала четной, а остальные не изменились, так как они уже четные. Значит, нужно взять одну фишку из любой кучки, кроме второй. В двоичной системе это означает, что нужно заменить 1 на 0 в правом столбце.
Хотя найти стратегию игры Ним было намного сложнее, чем для предыдущих игр, о которых мы рассказали, для всех этих игр справедлива одна общая идея. Нужно найти равновесную ситуацию, которая совпадает с конечным положением, и определить, какой из игроков всегда сможет сохранять подобную ситуацию, а какой — никогда. Так, в первой игре этой главы («Игра 1: выигрывает первый») равновесная ситуация такова: нужно оставить на столе число фишек, кратное 3. Во второй игре («Игра 2: выигрывает второй») нужно записать число, кратное 11, а в последней игре Ним нужно оставить в каждой кучке такое число фишек, чтобы при записи количества фишек в двоичной системе сумма цифр в столбцах всегда была четной.
Во многих случаях для игры Ним используются противоположные правила: тот, кто забирает последнюю фишку, не выигрывает, а проигрывает. В этом случае выигрывает тот же игрок, что и при обычных правилах. Изначально используется та же стратегия, единственное различие появляется, когда во всех кучках остается менее двух фишек. В этом случае выигрышный ход — оставить всего одну фишку в нечетном числе кучек. В игре по обычным правилам нужно оставить одну фишку в четном числе кучек.
Как только мы узнали выигрышную стратегию для любой игры типа Ним, возникает вопрос: можно ли создать игру подобного типа, для которой бы не существовало выигрышной стратегии в общем случае? Ответ на этот вопрос положительный и ведет нас к так называемым играм типа Нимбус. Эти варианты игры Ним имеют одно существенное отличие: если мы хотим взять больше одной фишки из определенного ряда (кучки), это можно сделать только тогда, когда фишки расположены рядом, то есть между ними нет промежутков, образованных после предыдущих ходов. Появляется правило, касающееся расположения фишек в рядах, что раньше не учитывалось. Это аналогично следующему: всякий раз, когда мы берем фишки из ряда, этот ряд разделяется на два. Это будет происходить всегда, если мы не будем снимать одну из крайних фишек. Поскольку образуются новые кучки, игра меняется так, что для нее уже нельзя использовать стратегию игры Ним.
Это позиционная система счисления, в которой любое число можно представить с помощью всего двух цифр: 0 и 1. Чтобы преобразовать двоичное число в десятичное, нужно заменить все единицы степенями двойки. Показатели этих степеней будут зависеть от позиции цифры: правый разряд соответствует 2>0, следующий — 2>1 и так далее. Например, двоичное число 110101 в десятичной системе выглядит так: 1 • 2>0 + 0 • 2>1 + 1 • 2>2 + 0 • 2>3 + 1 • 2>4 + 1 • 2>5 = 1 + 4 + 16 + 32 = 53.
Аналогично для записи десятичного числа в двоичном виде нужно разделить его на 2, полученный результат снова разделить на 2 и так далее до тех пор, пока результатом деления не будет 1. Последний результат деления будет первой цифрой справа. Все прочие остатки отделения, от последнего к первому, составят следующие разряды (остаток от деления на 2 может равняться только 0 или 1). Например, 39 в двоичной системе записывается как 100111, так как 39:2 дает 19 (и остаток 1), 19:2 дает 9 (остаток 1), 9:2 дает 4 (остаток 1), 4:2 дает 2 (остаток 0), 2:2 дает 1 (остаток 0). Мы выразили число в виде суммы степеней двойки.
Итак, 39 =1 + 2 + 4 + 32 = 1•2>0 +1•2>1+1•2>2+0•2>3+0•2>4+1•2>5 = 100111 по основанию 2. Хотя двоичная нотация появилась сравнительно недавно, свойство, на котором она основана («всякое число можно представить в виде суммы различных степеней двойки»), было известно и применялось еще в древности. Например, древние египтяне использовали для умножения такую систему. Один из сомножителей удваивался, второй делился на 2. Если число было нечетным, то на 2 делилось предыдущее число. Этот метод дает верный результат именно благодаря указанному свойству.
Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.
Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.
Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.
Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.
Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.
В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.
Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.