Десять великих идей науки. Как устроен наш мир. - [161]
Но возникает вопрос: почему математика, высший продукт человеческого ума, так великолепно приспособлена для описания Природы? И здесь я позволю себе заключительную завитушку, личный полет фантазии, представляющий собой чистую спекуляцию, не основанную на науке и поэтому совершенно лишенную всякой авторитетности. Это покажет, каким я на самом деле являюсь греком (древним, разумеется) и кантианцем в душе, несмотря на мои малодушные насмешки над их спекулятивными философиями. Здесь я намереваюсь быть более греком, чем сами греки, поглядеть, не являюсь ли я более кантианцем, чем сам Кант, и исследовать вопрос: а не существует ли глубокой связи между платоновским реализмом, кантианством и брауэровским интуиционизмом, а также гильбертовским формализмом?
В проблеме, с которой мы столкнулись, есть два главных момента. Один заключается в том, что математика есть внутренний продукт человеческого ума. Второй состоит в том, что математика оказывается удивительно хорошо приспособленной к описанию внешнего физического мира. Как это получается, что внутреннее так хорошо соответствует внешнему? Если мы примем кантианский взгляд на мозг, мы можем предположить, что он развивался таким способом, который наделил его способностью различать множества, соответствующие натуральным числам (в кантовских терминах, синтетическим a priori) и представлять эти числа в трех измерениях в форме геометрии (синтетической a priori тоже, но только локально, поскольку мы знаем, что евклидова геометрия не справедлива на больших масштабах и вблизи массивных тел). Кант наших дней мог бы утверждать, что у нас возникает столько проблем с представлением иррациональных чисел и неевклидовой геометрии потому, что эти концепции не входят в программное обеспечение нашей нейронной сети, из-за некоего рода эволюционной адаптации к локальному окружению, и нам нужно прилагать реальные умственные усилия, чтобы созерцать их свойства.
Двигаясь дальше, мы можем также предположить, что простые операции с этими понятиями также структурно представлены в программном обеспечении нашего мозга. Эта идея предполагает, что лежащие в основе других операций логические операции являются встроенными и у нас есть программно обеспеченная способность к построению алгоритмов. Я не утверждаю, что эта способность принадлежит исключительно мозгу: сегодня существует большой интерес к умозрительным предположениям о существовании нелокальной активности мозга, которая дает нам возможность рассматривать связи неалгоритмическими способами, и кое у кого имеются умозрения (Роджер Пенроуз является ведущим пропагандистом этого взгляда), что сознание есть внутренне нелокальный квантовый феномен. Хотя я был бы удивлен, если бы это оказалось правдой, это не станет составной частью моего собственного умозрения, когда я сконцентрируюсь на алгоритмических процессах в мозгу, на гильбертовском алгоритмическом сопроцессоре для большей, более метаматематической, возможно, нелокальной способности мозга. Коротко говоря, для алгоритмических вычислений мы можем занять позицию, которую допустимо назвать «структуралистской», подобной той, с которой Ноам Хомский смотрел на внутреннюю способность человека к языку, и представлять себе нашу логическую способность как кантовское проявление программно обеспеченной алгоритмической компоненты мозга, которая возникла под давлением эволюции. Наша способность создавать математические взаимосвязи, выводить теоремы и так далее является следствием этой структуры.
Двигаясь из головы наружу, нам следует теперь рассудить, почему физический мир представляется рукой в математической перчатке. Здесь я вступаю на еще более предательскую спекулятивную почву. Мы видели связь чисел с множествами и принадлежащее Фреге отождествление чисел с расширениями определенных множеств. В подобном же духе веселый венгро-американский математик Джон (Иоганн) фон Нейман (1903-57), которого считают, наряду с Тьюрингом, отцом современного компьютера, предложил возможность отождествления натуральных чисел с некоторыми очень простыми множествами. А именно, он идентифицировал 0 с пустым множеством {}, множеством, не содержащим элементов. Затем он перешел к отождествлению 1 с множеством, содержащим пустое множество, 1 = {{}}, 2 с множеством, содержащим пустое множество и множество, которое содержит пустое множество, 2 = {{}, {{}}}, затем 3 = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}, и так далее.[53] Так фон Нейман закрутил весь мир чисел из абсолютного ничто и дал нам арифметику ex nihilo.
Я утверждал где-то в другом месте, что, поскольку у меня не хватает воображения, чтобы представить себе, каким еще способом явное нечто может произойти из абсолютного ничто, появление Вселенной ex nihilo должно было происходить именно так, как фон Нейман наколдовал нам натуральные числа из пустого множества. Тот факт, что Вселенная пережила свое собственное творение, следует тогда интерпретировать как указание на то, что объекты, начавшие существовать таким путем, являются логически самосогласованными, в противном случае космос коллапсировал бы. Поэтому существует внутренняя логическая структура Вселенной, которая является той же структурой, что и арифметика.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.