Десять великих идей науки. Как устроен наш мир. - [160]
Предположим, что у нас есть некоторое предложение относительно числа 0, мы назовем это предложение p>0(0), и такое же предложение относительно числа 1, которое мы назовем p>0(1), и так далее. Обозначим вообще это предложение относительно числа x как p>0(x). Эти предложения могут быть истинными, а могут ложными. Например, предложение «квадратный корень из x равен 1» в случае p>0(0) ложно, поскольку утверждает, что √0 = 1, что неверно, но в случае p>0(1) оно истинно, так как √1 = 1. Каждое из этих предложений имеет гёделевский номер, который мы можем вычислить, и существует бесконечное число таких предложений относительно каждого из бесконечного числа натуральных чисел. Обозначим эти предложения как p>0(x), p>1(x) и так далее: некоторые из них являются мусором, некоторые верны. Организуем теперь все соответствующие им гёделевские номера в огромную таблицу (с астрономически большими номерами там, где мы подставили малые номера). Верхний левый фрагмент этой таблицы может быть чем-то вроде:
| Вход | 0 | 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Предложение | 0 | 0 | 55 | 27 | 4 |
| 1 | 51 | 3 | 7 | 17 | |
| 2 | 0 | 20 | 30 | 40 | |
| 3 | 13 | 22 | 11 | 2 | |
где каждое число во внутренних клетках таблицы есть (фальшивый) гёделевский номер соответствующего предложения. Так, фальшивый гёделевский номер предложения p>3(x) относительно числа 2 равен 11.
Теперь составим отдельный список гёделевских номеров всех предложений, которые являются доказуемыми с помощью аксиом системы. Подобно нашему предположению о существовании заслуживающей доверия машины Тьюринга для решения вопроса о том, остановятся вычисления или нет, мы предположим, что такой список может быть составлен, но если это приведет нас к противоречию, нам придется отвергнуть это предположение.
И здесь, как и в аргументах Тьюринга, нас ожидает провал. Рассмотрим следующее предложение:
«Диагональным членом» является предложение относительно собственного номера предложения, например, предложение p>2 относительно числа 2. Поскольку это утверждение является предложением, оно должно уже содержаться где-то в первоначальном исчерпывающем списке предложений. Для простоты давайте предположим, что оно оказывается Предложением 2. Коль это так, рассмотрим соответствующий диагональный гёделевский номер, который в этом случае равен 30. Этот гёделевский номер соответствует Предложению 2 относительно числа 2, которое гласит:
Теперь мы подходим к противоречию. Предположим, что мы узнали, обратись к полному списку доказуемых утверждений, что это предложение действительно верно (а значит, его гёделевский номер должен быть в списке доказуемых утверждений), то есть можно доказать, что доказательства Предложения 2 относительно числа 2 не существует. Тогда у нас получается противоречие, поскольку, если не существует доказательства Предложения 2 относительно числа 2, то его номера не должно быть в списке доказуемых утверждений! Если мы вместо этого предположим, что предложение о том, что не существует доказательства Предложения 2 относительно числа 2, является ложным, тогда его нет в списке доказуемых утверждений, а тогда это предложение истинно!
Мы достигли точки, в которой нам приходится заключить, что система аксиом, которой мы пользуемся, недостаточна для того, чтобы принять решение о том, что верно: это предложение или его отрицание. Математика неполна. Это означает, что существует бесконечное число математических утверждений, которые, возможно, верны, но не могут быть выведены из данного множества аксиом. В этом состоит основание для одного из моих вводных замечаний. Удивительно не только то, что мы можем считать (поскольку натуральные числа столь редки во вселенной всех чисел), удивительно, что мы можем делать с числами что-то арифметическое (потому что формально доказуемые выражения являются тоже очень редкими).
Заключение Гёделя не стало судным днем математики. Во-первых, могут существовать неалгоритмические методы установления истинности утверждений, так же как может быть невозможно формально доказать, что определенная позиция в шахматах не приводит к мату, но ее можно увидеть с более объемлющей точки зрения. То есть может существовать метаматематическое доказательство утверждения, которое не может быть доказано внутри формальной системы. То, что человеческий ум способен порождать такие неформальные, но вполне надежные доказательства, является окном в природу сознания, ибо это показывает, что понимание и рефлексия не нуждаются в том, чтобы быть алгоритмическими.
Математика прошла через три главных кризиса в своей истории. Первым было открытие древними греками несоизмеримости и существования иррациональных чисел, обрушившее философию пифагорйцев. Вторым было появление дифференциального исчисления в семнадцатом веке, сопровождавшееся страхом, что иметь дело с бесконечно малыми незаконно. Третьим кризисом стало столкновение с антиномиями в начале двадцатого века, такими как антиномия Рассела или парадокс Берри, которые, как казалось, подорвали основы этой науки. В свете этого кажется замечательным, что математика выжила как дисциплина. Тем, что это произошло, мы обязаны старому доброму здравому смыслу: существует огромная и чудесная наука математика, которая, по-видимому, превосходно работает, и было бы глупо отметать предмет, приводящий к таким замечательным успехам, даже если и есть ненадежные области в глубинах его структуры. Работающие математики могут продолжать трудиться без страха и не заботясь о трещинах глубоко в основании, которые, как они предполагают, навряд ли могут проложить себе путь на поверхность в любом. актуальном приложении. Второй причиной, конечно, является то, что математика просто слишком полезна и является наилучшим языком описания физического мира. Пропади математика, пропали бы большинство наук, торговля, транспорт, промышленность и средства связи.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.