Десять великих идей науки. Как устроен наш мир. - [159]
Существуют несколько теорем, связанных с именем Гёделя. Здесь мы сосредоточимся на теореме, опубликованной в 1931 г. в статье Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (О формальной неразрешимости предложений в Principia Mathematica и связанных с ней системах). В этой статье он показал, что в любой системе математических аксиом существуют метаматематические предложения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть посредством формального вывода, основанного на аксиомах системы.
Это мы и сделаем. Математика представляет собой последовательность предложений, таких как 1 + 1 = 2, и «это является доказательством данного предложения»; первое предложение является математическим, в смысле Гильберта, а второе метаматематическим. Давайте предположим, что мы можем записать все предложения, которые можно вывести из фундаментальных аксиом (например, из аксиом Пеано или более разработанной системы, основанной на усовершенствованной теории типов, которой пользовались Рассел и Уайтхед). Это даст нам предложения p>0, p>1, p>2, … и так далее. Как мы решим пронумеровать предложения, не имеет значения, но несколько изложенных ниже аргументов дадут вам ощутить аромат того, как действовал Гёдель.
В формулировке арифметики, подобной формулировке Пеано, имеется лишь небольшое число символов.
Например, одна из аксиом гласит «элемент, непосредственно следующий за числом, есть также число». Мы ввели обозначение х' = sx, где s означает «непосредственно следующий за», так что s0 = 1, s1 = ss0 = 2, и так далее. Гёдель приписал число каждому элементарному знаку, используемому в выражениях. Предположим, что он приписал 5 знаку «=» и 7 знаку s. Каждая отдельная переменная, такая как x, описывается отдельным простым числом, большим 10. Например, мы припишем x число 11, а х' число 13. Гёделевским номером предложения является произведение всех чисел, соответствующих символам, которые содержит предложение; так, нашему предложению х' = sx приписывается значение 13 (для x') × 5 (для «=») × 7 (для s) × 11 (для x), что дает 5005. Заметим, что посредством этой процедуры каждое предложение, включая аксиомы формализма, наделяется единственным номером[52], поэтому связи между предложениями становятся связями внутри арифметики. Например, мы можем ответить на метаматематический вопрос: встречается ли это предложение в более длинном, более сложном предложении, выяснив, является ли 5005 множителем в гёделевском номере сложного предложения, также как 5 является множителем 75.
Снабдим предложения индексами, используя их гёделевские номера, так что предложение х' = sx относительно числа 6 (которое должно читаться 6 = s5, «6 непосредственно следует за 5») есть предложение p>5005(6). Вы можете ожидать, что сложные предложения имеют большие гёделевские номера, но в том, что последует ниже, мы будем делать вид, что можем обойтись малыми номерами, такими как p>1(6) и p>4(6). Например, мы можем сделать вид, что Предложение 4, примененное к числу 6, является метаматематическим утверждением «6 есть совершенное число» (число, являющееся суммой своих простых множителей, в данном случае включая 1, 6 = 1 + 2 + 3 и 6 = 1 × 2 × 3), а Предложение 5 может сообщать о простых числах, и мы можем прочесть p>5(11) как «11 есть простое число».
Математическое доказательство состоит из строки предложений, которые выводятся одно из другого с помощью использования правил обращения с символами. Это означает, что мы можем приписать отдельный номер целому доказательству, отметив гёделевские номера всех входящих в него предложений. Если доказательство состоит из трех предложений с гёделевскими номерами 6, 8 и 2 (на практике эти номера были бы огромны), то всему доказательству приписывается номер 2>6 × 3>8 × 5>2 = 10 497 600 (для более длинных доказательств ряд простых чисел 2, 3, 5 последовательно продолжают). Как вы можете вообразить, длинные доказательства, состоящие из сложных предложений, имеют астрономически большие гёделевские номера. И снова смыслом этой процедуры является то, что целые доказательства включаются в область арифметики. Мы можем использовать арифметические процедуры, чтобы, например, судить, используется ли одно доказательство в другом, определяя, входит ли гёделевский номер первого множителем в гёделевский номер второго, подобно тому, как 15 = 5 × 3 означает, что 5 и 3 являются компонентами 15.
Теперь мы воспользуемся этими гёделевскими номерами, чтобы вывести результат Гёделя с помощью вариации процедуры из метода Кантора и решения Тьюрингом проблемы вычислимости. На самом деле Гёдель использовал гораздо более глубокие методы, доказав пятьдесят промежуточных теорем — опорные базы, — прежде чем достичь завершения доказательства. Следующий далее текст лишь ухватывает суть дела: представьте себе это как полет вертолета над вершиной горы. Однако, поскольку доказательство все же является трудным, даже урезанное и упрощенное до той степени, до которой мне удалось его адаптировать, вы можете свободно перескочить к месту, где восстанавливается нормальный размер шрифта.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.