Десять великих идей науки. Как устроен наш мир. - [159]
Существуют несколько теорем, связанных с именем Гёделя. Здесь мы сосредоточимся на теореме, опубликованной в 1931 г. в статье Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (О формальной неразрешимости предложений в Principia Mathematica и связанных с ней системах). В этой статье он показал, что в любой системе математических аксиом существуют метаматематические предложения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть посредством формального вывода, основанного на аксиомах системы.
Это мы и сделаем. Математика представляет собой последовательность предложений, таких как 1 + 1 = 2, и «это является доказательством данного предложения»; первое предложение является математическим, в смысле Гильберта, а второе метаматематическим. Давайте предположим, что мы можем записать все предложения, которые можно вывести из фундаментальных аксиом (например, из аксиом Пеано или более разработанной системы, основанной на усовершенствованной теории типов, которой пользовались Рассел и Уайтхед). Это даст нам предложения p>0, p>1, p>2, … и так далее. Как мы решим пронумеровать предложения, не имеет значения, но несколько изложенных ниже аргументов дадут вам ощутить аромат того, как действовал Гёдель.
В формулировке арифметики, подобной формулировке Пеано, имеется лишь небольшое число символов.
Например, одна из аксиом гласит «элемент, непосредственно следующий за числом, есть также число». Мы ввели обозначение х' = sx, где s означает «непосредственно следующий за», так что s0 = 1, s1 = ss0 = 2, и так далее. Гёдель приписал число каждому элементарному знаку, используемому в выражениях. Предположим, что он приписал 5 знаку «=» и 7 знаку s. Каждая отдельная переменная, такая как x, описывается отдельным простым числом, большим 10. Например, мы припишем x число 11, а х' число 13. Гёделевским номером предложения является произведение всех чисел, соответствующих символам, которые содержит предложение; так, нашему предложению х' = sx приписывается значение 13 (для x') × 5 (для «=») × 7 (для s) × 11 (для x), что дает 5005. Заметим, что посредством этой процедуры каждое предложение, включая аксиомы формализма, наделяется единственным номером[52], поэтому связи между предложениями становятся связями внутри арифметики. Например, мы можем ответить на метаматематический вопрос: встречается ли это предложение в более длинном, более сложном предложении, выяснив, является ли 5005 множителем в гёделевском номере сложного предложения, также как 5 является множителем 75.
Снабдим предложения индексами, используя их гёделевские номера, так что предложение х' = sx относительно числа 6 (которое должно читаться 6 = s5, «6 непосредственно следует за 5») есть предложение p>5005(6). Вы можете ожидать, что сложные предложения имеют большие гёделевские номера, но в том, что последует ниже, мы будем делать вид, что можем обойтись малыми номерами, такими как p>1(6) и p>4(6). Например, мы можем сделать вид, что Предложение 4, примененное к числу 6, является метаматематическим утверждением «6 есть совершенное число» (число, являющееся суммой своих простых множителей, в данном случае включая 1, 6 = 1 + 2 + 3 и 6 = 1 × 2 × 3), а Предложение 5 может сообщать о простых числах, и мы можем прочесть p>5(11) как «11 есть простое число».
Математическое доказательство состоит из строки предложений, которые выводятся одно из другого с помощью использования правил обращения с символами. Это означает, что мы можем приписать отдельный номер целому доказательству, отметив гёделевские номера всех входящих в него предложений. Если доказательство состоит из трех предложений с гёделевскими номерами 6, 8 и 2 (на практике эти номера были бы огромны), то всему доказательству приписывается номер 2>6 × 3>8 × 5>2 = 10 497 600 (для более длинных доказательств ряд простых чисел 2, 3, 5 последовательно продолжают). Как вы можете вообразить, длинные доказательства, состоящие из сложных предложений, имеют астрономически большие гёделевские номера. И снова смыслом этой процедуры является то, что целые доказательства включаются в область арифметики. Мы можем использовать арифметические процедуры, чтобы, например, судить, используется ли одно доказательство в другом, определяя, входит ли гёделевский номер первого множителем в гёделевский номер второго, подобно тому, как 15 = 5 × 3 означает, что 5 и 3 являются компонентами 15.
Теперь мы воспользуемся этими гёделевскими номерами, чтобы вывести результат Гёделя с помощью вариации процедуры из метода Кантора и решения Тьюрингом проблемы вычислимости. На самом деле Гёдель использовал гораздо более глубокие методы, доказав пятьдесят промежуточных теорем — опорные базы, — прежде чем достичь завершения доказательства. Следующий далее текст лишь ухватывает суть дела: представьте себе это как полет вертолета над вершиной горы. Однако, поскольку доказательство все же является трудным, даже урезанное и упрощенное до той степени, до которой мне удалось его адаптировать, вы можете свободно перескочить к месту, где восстанавливается нормальный размер шрифта.
Книга познакомит вас с повседневными приложениями теории вероятностей и математической статистики, мягко вводя в мир нешкольной математики. Лейтмотивом изложения станут широко известные «законы Мёрфи», или «законы подлости», — несерьезные досадные закономерности, наблюдаемые каждый день, но имеющие, однако, объективное математическое обоснование. Кроме разнообразных примеров из области теории вероятностей, в книге немало говорится и о смежных разделах: теории мер, марковских цепях, стохастических процессах, теории очередей, динамическом хаосе и т. п. Эта книга подойдет и школьнику, которому не терпится попасть в университет, и студенту, недоумевающему: «Куда я попал?», — и преподавателю, которому нужны оригинальные живые примеры, а также просто любопытному читателю, желающему развить навыки математического мышления, чтобы научиться отсеивать информационный шум и мусор в потоке новостей.
Монография по теории расчета нефтяных аппаратов (оболочек корпусов). Рассмотрены трехмерная и осесимметричная задачи теории упругости, реализация расчета методом конечных элементов. Написана для обмена опытом между специалистами. Предназначается для специалистов по разработке конструкций нефтяного статического оборудования (емкостей, колонн и др.) проектных институтов, научно-исследовательских институтов, заводов нефтяного машиностроения, инжиниринговых компаний, профессорско-преподавательского состава технических университетов.
Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств.
Генри Э. Дьюдени по праву считается классиком занимательной математики. Многие его задачи, породив обширную литературу и вызвав многочисленные подражания, вошли в ее золотой фонд.В предлагаемой книге собрано 520 задач и головоломок Дьюдени по арифметике, алгебре, геометрии, разрезанию и составлению фигур. Читателя ждет встреча с постоянно действующими героями Дьюдени — семейством Крэкхэмов, профессором Рэкбрейном и др.Книга доставит удовольствие всем любителям занимательной математики.
В пособии конспективно изложен школьный курс геометрии. Приведены комплекты экзаменационных билетов, задачи и их решения, распределённые по различным уровням сложности.Материалы пособия соответствуют учебной программе школьного курса геометрии.Для учителей и учащихся 9-х классов.
В тексте используется дореволюционная орфография. Если у вас не отображаются символы «ять» и другие, установите шрифт Palatino Linotype, или какой‐нибудь свободный шрифт с их поддержкойВикитекаВсякому, кто любитъ свой предметъ, бываетъ интересно знать, какъ онъ начался, какимъ путемъ онъ развивался, и какъ онъ вылился въ свою послѣднюю форму. Въ этой книжкѣ изложена исторія ариѳметики, и очерки ея назначены для тѣхъ, кто чувствуетъ расположеніе къ математикѣ. Юнымъ математикамъ я прежде всего назначаю свой трудъ.