Десять великих идей науки. Как устроен наш мир. - [153]
и много позже
Рис. 10.8. Факсимиле доказательства того, что 1 + 1 = 2, из Principia mathematica.
Расселу и Уайтхеду было необходимо обойти трясину противоречий, которая засосала Фреге. Чтобы достичь этого, Рассел ввел свою теорию типов, в которой элементам множеств присваивается «тип», и каждое множество может содержать элементы только низшего типа. Так, единичные объекты имеют тип 0, утверждения о множествах этих единичных объектов имеют тип 1, и так далее. Поскольку множество может содержать лишь множества низшего типа, оно никогда не может стать элементом самого себя, так что антиномии Рассела удастся избежать. Однако теория типов все еще недостаточно сильна для того, чтобы устранить некоторые парадоксы, такие как «парадокс Берри», предложение из десяти слов: «наименьшее из целых чисел, определяемых не менее чем одиннадцатью словами». Целое число, удовлетворяющее этому требованию, на самом деле определено предложением из десяти слов, поэтому данное предложение противоречиво. Чтобы избежать опасностей также и этого болота, Рассел был вынужден проложить гать из нового варианта теории типов, который он назвал разветвленной теорией типов. В разветвленной теории обозначения присваивались не только типам рассматриваемых объектов, но также и способам их определения. Principia mathematica основаны на разветвленной теории типов.
Возможно, создается впечатление, что разветвленная теория типов является лоскутным одеялом, сшитым из отдельных уверток. На самом деле, все обстоит гораздо хуже, поскольку в ней оказалось невозможным доказать, что каждое натуральное число имеет следующее за ним или что количество натуральных чисел бесконечно. Чтобы преодолеть эти недостатки, к лоскутному одеялу пришлось пришить аксиому бесконечности, которая просто декларировала существование бесконечности. Но худшее (в смысле увеличения числа лоскутков) было впереди: для корректного определения числа пришлось добавить лоскут аксиомы редуцируемости, связанной с поведением предложений различного порядка. Так или иначе, но логицистическая повестка дня раскручивалась, и, казалось, становилось ясно, что математика не является просто ответвлением логики.
Что также становилось ясным, так это существование проблем с теорией множеств, которую хотели представить как основание математики. Может быть, неприятности теории множеств можно проследить до подлинной проблемы, заключающейся в самом понятии множества, которое выглядит выхолощенным? Может быть, понятие множества слишком широко для математиков? В начале двадцатого века, приблизительно в то же время, когда Рассел и Фреге сражались со своими проблемами, эта точка зрения получила определенную поддержку в форме аксиомы выбора. Эта аксиома является логическим двойником пятого постулата геометрии Евклида (о параллельных прямых, глава 9) и привлекла к себе огромное внимание. Ее простейшая форма выглядит кроткой как овечка: если у вас есть набор множеств, то вы можете составить новое множество, выбирая по одному элементу из каждого множества и добавляя их в свою тележку для покупок. Все мы собираем таким способом элементы множеств в супермаркете, называя вновь сконструированное множество своим шопингом. Кто мог бы возразить против такой процедуры собирания множества?
Однако овечка сбрасывает шкуру и оборачивается волком, как только мы начинаем рассматривать бесконечные множества, поскольку, возможно, нет никакого способа точно определить выбор. Для конечного числа множеств мы можем просто составить список всех элементов, которые хотим выбрать — список покупок. Рассмотрим, однако, следующую задачу. У нас есть бесконечное число множеств, одно состоит из действительных чисел, лежащих между 0 и 1, другое между 1 и 2 и так далее. Мы решили образовать новое множество путем случайного выбора по одному элементу в каждом из этих множеств. К сожалению, мы не можем составить список наших выборов, потому что их число бесконечно, и не можем определить их правилом, потому что их выбор должен быть случайным. Таким образом, мы образовали множество, которое не можем точно определить. Рассел привел бытовую иллюстрацию трудности, которую создает аксиома выбора: богатый человек, имеющий бесконечное число пар носков, поручает слуге выбрать по одному носку из каждой пары. Слуге не удается это проделать, так как у него нет способа решить, какой носок в каждой паре он должен выбрать.
Существуют три позиции, которые можно занять по отношению к аксиоме выбора, и каждый математик, сознательно или бессознательно, выбирает одну из них. Одна позиция, которую занимают математические страусы, заключается в том, чтобы игнорировать проблему, которую представляет эта аксиома, и просто продолжать работать как ни в чем не бывало. Это точка зрения всех физиков, большая часть которых вообще не подозревает, что здесь есть какая-то проблема, и только отрешенно пожмет плечами, если привлечь к ней их внимание и объяснить, в чем дело. Затем имеются математические социальные работники, которые осведомлены о проблеме и используют аксиому выбора для логического доказательства лишь как последнюю спасительную соломинку. Они отчаянно пытаются найти альтернативный маршрут среди аксиом, какими бы извилистыми ни становились их аргументы. И, наконец, существуют математические святые, поистине блюдущие обет безбрачия, когда дело доходит до аксиомы выбора, которым на нее противно даже смотреть, рассматривающие любое опирающееся на нее доказательство как ничтожное.
