Большое, малое и человеческий разум - [34]
В науке вообще (а в логике, в частности) утверждения о том, что некоторые вычисления являются бесконечными, носят название П1-высказываний. Давайте рассмотрим такие высказывания несколько подробнее, так как я собираюсь доказать, что указанного выше алгоритма А не существует.
Я начну доказательство с некоторого обобщения рассмотренных выше задач, а именно попытаюсь выявить зависимость связанных с их решением вычислений от чисел п натурального ряда. Пусть, например, нам необходимо:
• Найти натуральное число, не являющееся суммой п квадратных чисел.
Нам уже известно, что для п = 3 ответ может быть получен очень быстро, а для чисел п > 4 вычислительные операции никогда не закончатся (в соответствии с теоремой Лагранжа). Попробуем далее решить следующую задачу:
• Найти нечетное число, являющееся суммой п четных чисел.
В этом случае нам нет даже необходимости говорить о зависимости от п, поскольку для любых п вычисления никогда не закончатся. Наконец, в качестве обобщения проблемы Гольдбаха я предлагаю задачу следующего вида:
• Найти четное число больше 2, не являющееся суммой п простых чисел.
Если утверждение Гольдбаха верно, то вычисления будут длиться бесконечно для всех п (кроме 0 и 1). В некотором смысле доказательство даже упрощается с ростом п. Я действительно верю, что существует достаточно большое число п, для которого вычисления «продолжаются вечно».
Важнейшей характеристикой вычислений такого типа является их зависимость от чисел натурального ряда п, и именно это обстоятельство стало центральным моментом для так называемой теоремы Гёделя о неполноте (в Англии ее иногда называют догадкой или конъектурой Гёделя). Я буду рассматривать ее в формулировке, предложенной Аланом Тьюрингом, однако незначительно изменю ход его рассуждений. Если вы не любите математические выкладки, то можете просто пропустить этот кусок текста. Получаемый результат очень важен, но особенно интересно то, что доказательство вовсе не является сложным — оно всего лишь поразительно и даже вызывает недоумение!
Вычисления, связанные с конкретным числом п, совершенно стандартны и привычны для большинства компьютерных программ. Вы можете, например, просто взять набор программ, пронумеровать их в соответствии с текущим номером (обозначив его через р), а затем запустить компьютер, заложив в него этот порядковый номер. Компьютер начнет добросовестно «тарахтеть», последовательно осуществляя вычисления с числом п в соответствии с р-й программой. Вам необходимо лишь записать порядковый номер р в виде нижнего индекса справа, и тогда набор программ (или вычислений), связанных с числом п, примет простой и ясный вид
С>0(n), С>1(n), С>2(n), С>3(n), ..., С>p(n), ... .
Предположим, что этот набор содержит все возможные вычисления С>p(n) и что мы можем найти какой-то эффективный метод упорядочения этих компьютерных программ, так что индекс р означает р-ю по порядку программу вычислений в соответствии с некоторым правилом, вследствие чего С>p(n) будет означать р-ю программу, примененную к числу п.
Предположим далее, что мы имеем какую-то вычислительную (т. е. алгоритмическую) процедуру А, относящуюся к паре чисел (р, п), осуществление которой дает очевидное и убедительное доказательство того, что работа программы С>p(n) еще не закончена. При этом вовсе не требуется, чтобы алгоритм А(р, п) работал постоянно, т. е. если вычисление С>p(n) является бесконечным, то это не значит, что характеризующий его алгоритм А(р, п) тоже будет выполняться за бесконечное время. Но я подчеркиваю, что алгоритм А (в соответствии с уже отмеченными свойствами компьютера) срабатывает без ошибок, т. е. если операция А(р, п) не завершена, то это также означает, что вычисление С>p(n) не закончено. А теперь представим себе, что какие-то математики, исходя из соображений типа описанного алгоритма А, сформулировали (или просто повторили) в строгом математическом виде некоторое утверждение (например, П1-утверждение). Предположим также, что они знают о существовании операции А и уверены в ее надежности и обоснованности. Представим себе далее, что процедура А включает в себя все операции, доступные математикам для того, чтобы убедить последних в бесконечном характере вычислений. Процедура А начинается с отбора программы, имеющей индекс р, а затем натурального числа п, к которому относится данная программа. Далее, если вычислительная операция А(р, п) закончена, то это означает, что вычисление С>p(n) не завершено, т.е.
Если операция А(р, п) завершена, то вычисление С>p(n) не закончено. (1)
Собственно говоря, в этом и заключается роль процедуры А — она должна давать неопровержимые доказательства того, что определенные вычисления не окончены.
Предположим далее, что р = п, в результате чего возникает хорошо известная и довольно забавная ситуация, известная под названием диагонализации Кантора (кстати, ее использование математически совершенно обоснованно), после которой мы вдруг приходим к следующему выводу:
Если операция А(п, п) завершена, то вычисление С>n(n) не закончено.
Но в данном случае A(п, п) зависит лишь от одного параметра
Стивен Хокинг, величайший ученый современности, изменил наш мир. Его уход – огромная потеря для человечества. В своей финальной книге, над которой Стивен Хокинг работал практически до самого конца, великий физик делится с нами своим отношением к жизни, цивилизации, времени, Богу, к глобальным вещам, волнующим каждого из нас.
Книга представляет собой сборник эссе выдающегося физика современности Стивена Хокинга, написанных им в период с 1976 по 1992 год. Это и автобиографические очерки, и размышления автора о философии науки, о происхождении Вселенной и ее дальнейшей судьбе.
Эта книга объединила семь лекций всемирно знаменитого ученого, посвященных происхождению Вселенной и представлениям о ней - от Большого Взрыва до черных дыр и теории струн. А главное, тому, как создать на основе частных физических теорий великую объединенную теорию всего.
По Вселенной на астероиде – не может быть! Может! – не сомневаются знаменитый астрофизик Стивен Хокинг (интервью с ним читайте здесь), его дочь Люси и бывший аспирант, а ныне популяризатор науки Кристоф Гальфар, которые в сентябре 2007 года представили свою первую книгу для детей о приключениях Джорджа и его друзей во Вселенной.В этой живой и весёлой книге они рассказали о фантастически интересных предметах – черных дырах, квазарах, астероидах, галактиках и параллельных вселенных – детям. Авторы особо подчеркивают, что хотели «представить современный взгляд на космологию от Большого взрыва до настоящего времени без какой бы то ни было магии».
Природе пространства и времени, происхождению Вселенной посвящена эта научно-популярная книга знаменитого английского астрофизика Стивена Хокинга, написанная в соавторстве с популяризатором науки Леонардом Млодиновым. Это новая версия всемирно известной «Краткой истории времени», пополненная последними данными космологии, попытка еще проще и понятнее изложить самые сложные теории.
И вот – долгожданная вторая часть о приключениях Джорджа в космосе – «Джордж и сокровища Вселенной». Все те, кто прочитал научно-приключенческую повесть Стивена и Люси Хокинг «Джордж и тайны Вселенной», с нетерпением ждали продолжения: что-то станется с бесстрашными и любознательными героями дальше? Какие загадки предстоит им решить? Что нового узнать? Куда подевался тщеславный злодей доктор Линн?Во второй книге трилогии, к неразлучным друзьям Джорджу и Анни присоединяется еще один мальчик – компьютерный гений Эммет.
В последние годы вышла на передний рубеж науки и начала бурно развиваться физика элементарных частиц. Она ставит перед собой самую дерзновенную цель — познать наиболее сокровенные тайны природы, познать законы, управляющие миром, который не увидишь ни в какие микроскопы. Одни из этих законов уже познаны. Другие — наиболее таинственные, а потому и самые важные — ждут своего открытия. Эти открытия неразрывно связаны с поиском новых частиц. В последние годы «охота» за частицами приняла неведомый до сих пор размах.
Перед вами первая книга на русском языке, почти целиком посвященная остывающим реликтам звезд, известным под именем белых карликов. А ведь судьба превратиться в таких обитателей космического пространства ждет почти все звезды, кроме самых массивных. История открытия белых карликов и их изучение насчитывает десятилетия, и автор не только подробно описывает их физическую природу и во многом парадоксальные свойства, но и рассказывает об ученых, посвятивших жизнь этим объектам Большого космоса. Кроме информации о сверхновых звездах и космологических проблемах, связанных с белыми карликами, читатель познакомится с историей радиоастрономии, узнает об открытии пульсаров и квазаров, о первом детектировании, происхождении и свойствах микроволнового реликтового излучения и его роли в исследовании Вселенной.
Ученик великого Э. Ферми, сотрудник Ф. Жолио-Кюри, почетный член Итальянской академии деи Линчей Бруно Понтекорво родился в Италии, работал во Франции, США, Канаде, Англии, а большую часть своей жизни прожил в России. Бруно Понтекорво известен как один из ведущих физиков эпохи «холодной войны». В то время, как главы государств мечтали о мировом господстве, которое им подарит ядерное оружие, лучшие ученые всего мира боролись за «ядерное равновесие» и всеми возможными способами старались не разрывать прочные научные связи, помогавшие двигать науку вперед.
Эта книга поможет вам понять, как устроен окружающий мир и чем занимается физика как наука. Легким и неформальным языком она расскажет о физических законах и явлениях, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни.
Гравитационные волны были предсказаны еще Эйнштейном, но обнаружить их удалось совсем недавно. В отдаленной области Вселенной коллапсировали и слились две черные дыры. Проделав путь, превышающий 1 миллиард световых лет, в сентябре 2015 года они достигли Земли. Два гигантских детектора LIGO зарегистрировали мельчайшую дрожь. Момент первой регистрации гравитационных волн признан сегодня научным прорывом века, открывшим ученым новое понимание процессов, лежавших в основе формирования Вселенной. Книга Говерта Шиллинга – захватывающее повествование о том, как ученые всего мира пытались зафиксировать эту неуловимую рябь космоса: десятилетия исследований, перипетии судеб ученых и проектов, провалы и победы.
В книге, одним из авторов которой является известный американский физик Г. Гамов, в доступной и увлекательной форме рассказывается о достижениях на стыке физики и биологии. Данная книга рассчитана на учащихся старших классов и студентов начальных курсов университетов самых разных специальностей.