Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - [76]

Последовательность Рекамана

Столкновение порядка и беспорядка в последовательности Рекамана можно выразить и музыкально. В «Энциклопедии» имеется функция, позволяющая прослушать любую последовательность, как если бы она была записана с помощью нот. Представим себе, что имеется фортепиано с 88 клавишами (что составляет диапазон чуть меньше восьми октав). Число 1 соответствует самой нижней ноте, число 2 — второй ноте снизу, и так далее, до числа 88, которое соответствует самой верхней ноте. Когда ноты заканчиваются, мы опять начинаем снизу, так что число 89 возвращает нас к первой клавише. Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 звучат как восходящая гамма, повторяющаяся без конца. Но музыка, создаваемая последовательностью Рекамана, леденит кровь. Она подобна саундтреку из фильма ужасов. Она звучит негармонично, однако не воспринимается как нечто совершенно хаотичное. Можно различить отчетливые музыкальные фразы, как если бы за какофонией скрывалось творение таинственной человеческой руки[49].

Вопрос, который интересует математиков, — все ли числа встречаются в последовательности Рекамана. Были изучены 10²⁵ членов последовательности, и оказалось, что наименьшее из не присутствующих чисел — это 852 655. Слоун подозревает, что в конце концов в этой последовательности появятся все числа, включая и 852 655, но это его предсказание пока не доказано. Нет ничего удивительного в том, что Слоун находит последовательность Рекамана столь увлекательной.

Другой фаворит Слоуна — это последовательность Гийсвийта[50]. В отличие от многих последовательностей, которые растут с победоносной быстротой, последовательность Гийсвийта растет с тягучей неторопливостью, способной свести с ума. Она представляет собой прекрасную метафору идеи «никогда не сдаваться»:

(А90822) 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 2…

Первая тройка появляется на девятом месте. Четверка первый раз возникает на 221-м месте. Появление пятерки ожидается не раньше, чем ад замерзнет — она возникнет на месте с номером 10^{100000000000000000000000}.

Это экстремально большое число. Например, вся Вселенная содержит только 10⁸⁰ элементарных частиц. В конце концов появится и шестерка, но на таком расстоянии от начала, которое разумно можно описать только как степень степени степени степени степени:

. Остальные числа тоже рано или поздно возникнут, хотя — и это следует подчеркнуть — не выказывая при этом решительно никакой спешки. «Земля умирает, даже океаны умирают, — замечает Слоун с поэтическим пафосом, — но приют и спасение можно найти в абстрактной красоте последовательности типа А090822 Диона Гийсвийта».

* * *

Древние греки уделяли простым числам серьезное внимание. Но еще больше они были очарованы числами, которые называли совершенными. Рассмотрим число 6: числа, на которое оно делится, его делители, — это 1, 2 и 3. Если сложить 1, 2 и 3 — voilà, снова получается 6. Совершенное число — это любое число, которое, подобно шестерке, равно сумме своих делителей. (Строго говоря, у 6 есть еще делитель 6, но при рассмотрении совершенных чисел имеет смысл включать только те делители, которые меньше данного числа.) Следующее за шестеркой совершенное число — это 28, потому что числа, на которые оно делится, — это 1, 2, 4, 7 и 14, а их сумма равна как раз 28. Не только греки, но и евреи и христиане приписывали космологическое значение такому численному совершенству. Живший в XI веке выдающийся богослов и писатель Рабан Мавр писал: «Шесть не потому совершенно, что Бог сотворил мир за 6 дней, но Бог совершил акт творения за 6 дней потому, что число это совершенно».

Греки обнаружили также неожиданную связь между совершенными и простыми числами, которая породила многочисленные связанные с ними приключения. Рассмотрим последовательность удвоений, начинающуюся с 1:

(А 79) 1, 2, 4, 8, 16…

В своих «Началах» Евклид показал, что всегда, когда сумма удвоений есть простое число, можно найти совершенное число, умножая сумму на наибольшее из тех удвоений, что в нее входят. Это звучит как малопонятная тирада, так что давайте начнем складывать удвоения, чтобы увидеть, что же все это означает.

1 + 2 = 3. Число 3 простое, так что мы умножим 3 на старшее из наших удвоений, то есть на 2: 3 × 2 = 6, а число 6 совершенно.

1 + 2 + 4 = 7. Число 7 снова простое. Поэтому умножим 7 на 4, что даст еще одно совершенное число, а именно 28.

1 + 2 + 4 + 8 = 15. Это число не простое. Не появится здесь и совершенного числа.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Это число простое, а 31 × 16 = 496 — совершенное число.

1 + 2 + 4 + 8 +16 + 32 = 63. Это число не простое.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127. Это число также простое, а 127 × 64 = 8128 — совершенное число.

Доказательство Евклида было, конечно, геометрическим. Он не записывал его в терминах чисел, а использовал отрезки прямых. Однако если бы он мог позволить себе роскошь современных алгебраических обозначений, то заметил бы, что сумму удвоений 1 + 2 + 4 +… можно выразить как сумму степеней двойки, 2⁰ + 2¹ + 2² +… (Заметим, что любое число в степени 0 есть 1 и что любое число в степени 1 есть само это число.) Тогда становится понятным, что любая сумма удвоений равна следующему удвоению за вычетом единицы. Например: