Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - [77]
1 + 2 = 3 = 4 - 1, или 2>0 + 2>1 = 2>2 - 1
1 + 2 + 4 = 7 = 8–1, или 2>0 + 2>1 + 2>2 = 2>3 - 1.
Это можно обобщить в виде формулы 2>0 + 2>1 + 2>2 +… + 2>n-1 = 2>n - 1. Другими словами, сумма первых n удвоений равна 2>n - 1.
Итак, используя исходное заявление Евклида о том, что «когда сумма удвоений есть простое число, можно построить совершенное число, умножая сумму на наибольшее из тех удвоений, что в нее входят» и добавляя к этому современные алгебраические обозначения, мы можем получить намного более четкое утверждение:
Если число 2>n - 1 простое, то число (2>n - 1) × 2>n-1 совершенное.
Для цивилизаций, которые превозносили совершенные числа, данное Евклидом доказательство было потрясающей новостью. Если совершенные числа можно породить всякий раз, когда число 2>n - 1 простое, то все, что нужно для нахождения новых совершенных чисел, — это нахождение простых чисел, которые можно записать в виде 2>n - 1. Охота за совершенными числами свелась к охоте за простыми числами определенного типа.
Конечно, математический интерес к простым числам, записываемым в виде 2>n - 1, мог быть связан с совершенными числами, однако к XVII столетию простые числа стали объектом увлечения сами по себе. В то время как одни математики были поглощены вычислением числа π со все большим и большим количеством десятичных знаков, другие посвящали себя нахождению все больших и больших простых чисел. Эти два рода деятельности похожи, но противоположны: если вычисление десятичных знаков в числе π — это поиск все меньших и меньших объектов, то погоня за простыми числами — это взлет вверх, в небеса. Развитию обоих направлений способствовала скорее романтическая аура самого путешествия, нежели возможности практического использования чисел, открытых по дороге.
В ходе этого поиска простые числа вида 2>n - 1 зажили своей собственной жизнью. Эта формула не давала простых чисел при всех значениях n, но для малых чисел процент успеха был весьма неплох. Как мы уже видели, при n = 2, 3, 57 число 2>n - 1 — простое.
Французский монах (и одновременно один из выдающихся ученых своего времени) Марен Мерсенн (1588–1648) просто зациклился на использовании чисел вида 2>n - 1 для производства простых. В 1644 году он выступил с широкомасштабным заявлением о том, что ему известны все значения n до 257, при которых число 2>n - 1 простое. По его словам, это были значения
(А109 461) 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.
Мерсенн был дельным математиком, однако его список — по большей части плод угадывания. Число 2>257 - 1 состоит из 78 цифр — определенно слишком много для проверки человеческими силами на предмет того, простое оно или нет. Мерсенн осознавал, что его числа — это стрельба наугад. Он говорил о своем списке: «Всего времени не хватит, дабы определить, простые ли они».
Но одному математику времени тем не менее все-таки хватило, — такое нередко бывает в науке. В 1876 году, через два с половиной столетия после того, как Мерсенн предложил свой список, французский специалист по теории чисел Эдуар Люка изобрел метод, позволяющий проверить, являются ли числа вида 2>n - 1 простыми, и выяснил, что Мерсенн был не прав по поводу числа 67 и, кроме того, он пропустил числа 61, 89 и 107. Потрясающе, однако, что Мерсенн оказался прав насчет числа 127. Люка применил свой метод для доказательства того, что число 2>127 - 1 (то есть 170 141 183 460 4 69 231 731 687 303 715 884 105 727) — простое. Оно оставалось самым большим известным простым числом до наступления века компьютеров. Люка, однако, не смог определить, простое или нет число 2>257 - 1 — оно было слишком большим для ручных вычислений.
Несмотря на отдельные ошибки, список Мерсенна обессмертил своего создателя; простые числа вида 2>n - 1 в наше время известны как простые числа Мерсенна.
Дабы выяснить, простое или нет число 2>257 - 1, пришлось дожидаться наступления 1952 года. Для доказательства был использован метод Люка, правда при существенной поддержке. В том году в Институте численного анализа в Лос-Анджелесе собралась команда ученых. Они наблюдали за 24-футовыми барабанами с магнитной лентой, вводившейся в один из первых цифровых компьютеров, который назывался SWAC. Один только этот процесс занял несколько минут. Затем оператор ввел число, которое предстояло проверить: 257. Через долю секунды появился результат. Компьютер сообщил, что число 2>257 - 1 — не простое.
Вечером того же дня, когда было получено, что число 2>257 - 1 — не простое, в вычислительную машину один за другим были введены новые претенденты на право занять место в списке Мерсенна. SWAC отказал первым 42 из них. И только в 10 вечера появился результат: компьютер сообщил, что число 2>521 - 1 — простое. Это число было наибольшим из простых чисел Мерсенна, выявленным за 75 лет, что, кстати, давало и соответствующее совершенное число 2>520(2>521 - 1) — всего лишь тринадцатое открытое за чуть ли не вдвое большее число столетий. Но число 2>521 - 1 только два часа наслаждалось своим статусом старшего в колоде. Незадолго до полуночи SWAC подтвердил, что число 2>607 - 1 тоже простое. За последующие несколько месяцев SWAC, работая на пределе своих возможностей, нашел еще три простых числа. 17 простых чисел Мерсенна были открыты в период с 1957 по 1996 год.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Для этой книги Алекс Беллос собрал 125 головоломок, созданных за прошедших два тысячелетия, вместе с историями об их происхождении и влиянии. Он выбрал самые захватывающие, увлекательные и стимулирующие работу мысли задачи. Эти головоломки можно считать математическими только в самом широком смысле: их решение требует логического мышления, но не требует глубоких знаний математики. Все эти задачи происходят из Китая, средневековой Европы, викторианской Англии и современной Японии, а также из других времен и мест. Это книга для тех, кто интересуется математикой и логикой и любит разгадывать головоломки. На русском языке публикуется впервые.
Петр Ильинский, уроженец С.-Петербурга, выпускник МГУ, много лет работал в Гарвардском университете, в настоящее время живет в Бостоне. Автор многочисленных научных статей, патентов, трех книг и нескольких десятков эссе на культурные, политические и исторические темы в печатной и интернет-прессе США, Европы и России. «Легенда о Вавилоне» — книга не только о более чем двухтысячелетней истории Вавилона и породившей его месопотамской цивилизации, но главным образом об отражении этой истории в библейских текстах и культурных образах, присущих как прошлому, так и настоящему.
Научно-популярный журнал «Открытия и гипотезы» представляет свежий взгляд на самые главные загадки вселенной и человечества, его проблемы и открытия. Никогда еще наука не была такой интересной. Представлены теоретические и практические материалы.
«Что такое на тех отдаленных светилах? Имеются ли достаточные основания предполагать, что и другие миры населены подобно нашему, и если жизнь есть на тех небесных землях, как на нашей подлунной, то похожа ли она на нашу жизнь? Одним словом, обитаемы ли другие миры, и, если обитаемы, жители их похожи ли на нас?».
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
Взыскание Святого Грааля, — именно так, красиво и архаично, называют неповторимое явление средневековой духовной культуры Европы, породившее шедевры рыцарских романов и поэм о многовековых поисках чудесной лучезарной чаши, в которую, по преданию, ангелы собрали кровь, истекшую из ран Христа во время крестных мук на Голгофе. В некоторых преданиях Грааль — это ниспавший с неба волшебный камень… Рыцари Грааля ещё в старых текстах именуются храмовниками, тамплиерами. История этого католического ордена, основанного во времена Крестовых походов и уничтоженного в начале XIV века, овеяна легендами.
В занимательной и доступной форме автор вводит читателя в удивительный мир микробиологии. Вы узнаете об истории открытия микроорганизмов и их жизнедеятельности. О том, что известно современной науке о морфологии, методах обнаружения, культивирования и хранения микробов, об их роли в поддержании жизни на нашей планете. О перспективах разработок новых технологий, применение которых может сыграть важную роль в решении многих глобальных проблем, стоящих перед человечеством.Книга предназначена широкому кругу читателей, всем, кто интересуется вопросами современной микробиологии и биотехнологии.
Знания всегда давались человечеству нелегко. В истории науки было все — драматические, а порой и трагические эпизоды соседствуют со смешными, забавными моментами. Да и среди ученых мы видим самые разные характеры. Добрые и злые, коварные и бескорыстные, завистливые и честолюбивые, гении и талантливые дилетанты, они все внесли свой вклад в познание мира, в котором мы живем.Уолтер Гратцер рассказывает о великих открытиях и людях науки честно и объективно, но при этом ясно: он очень любит своих героев и пишет о них с большой симпатией.
Людям свойственно спокойно принимать тот факт, что зачастую они ведут себя как животные, они даже порой гордятся, что способны на «подлинную страсть». Но люди всегда страшно удивляются, что животным часто оказываются свойственны привычки, считающиеся чисто человеческими, — от шумных пирушек (с последующим неизбежным похмельем) до конфликтов «отцов и детей», от гомосексуализма до мафии. Английский писатель и биолог Огастес Браун пишет об этом с чисто английским юмором и тонкой наблюдательностью.
Артур Миллер, известный американский историк науки (сейчас живет в Лондоне), повествует о выдающихся открытиях астрофизиков XX века. В центре рассказа — судьба индийского физика, лауреата Нобелевской премии Субрахманьяна Чандрасекара, чьи теории во многом сформировали наши сегодняшние представления о Вселенной. Книга Миллера — об эволюции звезд, о белых карликах, красных гигантах, нейтронных звездах и о самых таинственных космических объектах — черных дырах, жадно пожирающих материю и энергию.
Сегодня мы уже не можем себе представить жизнь без компьютеров и Интернета. Каждый день возникают все новые и новые гаджеты, которые во многом определяют наше существование — нашу работу, отдых, общение с друзьями. Меняются наши реакции, образ мышления. Известный американский психиатр, профессор Лос-Анджелесского университета и директор Научного центра по проблемам старения Гэри Смолл вместе со своим соавтором (и женой) Гиги Ворган утверждают: мы наблюдаем настоящий эволюционный скачок, и произошел он всего за пару-тройку десятилетий!В этой непростой ситуации, говорят авторы, перед всем человечеством встает трудная задача: остаться людьми, не превратившись в придаток компьютера, и не разучиться сопереживать, общаться, любить…