Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики [заметки]
1
На самом деле для получения логарифмической шкалы требуется, чтобы числа усаживались теснее по вполне определенному закону.
2
Два значения — цифра (то есть однозначное число) и палец. (Примеч. перев.)
3
Отметим на всякий случай, что только что выписанные семь чисел выражаются в десятичной системе соответственно как 13, 14, 15 и 21, 22, 23, 24. (Примеч. перев.)
4
Потренируемся в переводе двенадцатеричного числа в десятичное: (80Ƹ9)12 = 8 × 12>3 + 0 × 12>2 + Ƹ × 12 + 9 = 8 × 1728 + 11 × 12 + 9 = 13 965. Это число дней — немного больше 38 лет. (Примеч. перев.)
5
Терминология, как это часто бывает при работе с другими основаниями, требует осторожности. Речь идет не о процентах, то есть не о сотых долях, а о сто сорок четвертых долях. Для полной ясности выполним деление, пользуясь десятичной системой, а затем переведем результат в двенадцатеричную. Будем указывать основание в виде нижнего индекса: 100>12/3 = 144>10/3 = 48>10 = 40>12 (Примеч. перев.)
6
Система имеет своих приверженцев и поныне. Любопытны ссылки http://dock.catlair.ru/ и http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_time. Установить (работающие) метрические часы на свой компьютер можно отсюда: http://sites.google.com/site/davidkbainbridge/metricclock. (Примеч. перев.)
7
Банк Англии был основан в 1694 году. Вероятно, имеется в виду Государственное казначейство. (Примеч. перев.)
8
Фу Си — имя мифического создателя китайской цивилизации. (Примеч. перев.)
9
Японский язык — слоговой в своей основе. (Примеч. перев.)
10
Имеется в виду скандальный судебный процесс над О. Дж. Симпсоном. (Примеч. перев.)
11
В оригинале Картер говорит «All is irie» — искаженное «all right», означающее, что все хорошо. Выражение употребляется в среде афроамериканцев. (Примеч. перев.)
12
Отсюда и слово «калькуляция». (Примеч. перев.)
13
Читатель может вспомнить фильм «Пятая стихия» (в российском прокате — «Пятый элемент»), где Пифагоровы идеи оказались не чужды и инопланетянам. (Примеч. перев.)
14
Юлия Домна (167–217) — жена императора Септимия Севера. По ее поручению Флавий Филострат написал «Жизнь Аполлония Тианского» в 8 книгах. Истории о философе-чудотворце («языческом святом») повлияли на последующую христианскую агиографическую литературу. Исторический Аполлоний Тианский — философ-неопифагореец — жил в I веке н. э. (Примеч. перев.)
15
Быть может, полезно вспомнить, что строительство знаменитых египетских пирамид прекратилось примерно за тысячу лет до того, как жил Пифагор. (Примеч. перев.)
16
Достаточно интересно уже построение циркулем и линейкой правильного многоугольника с 17 = 2>4 + 1 сторонами. На прекрасно анимированное построение можно посмотреть по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon. (Примеч. перев.)
17
В одной точке. (Примеч. перев.)
18
Она называется также окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха и окружностью девяти точек — последнее из-за того, что проходит еще и через середины трех отрезков, соединяющих вершины треугольника с его ортоцентром. (Примеч. перев.)
19
Под «евклидовой геометрией» в этой фразе следует понимать в точности построение циркулем и линейкой. Использование «других методов» означает лишь выход за рамки этих искусственно выбранных средств, однако не означает выход за рамки постулатов, на которых основаны «Начала» и которые — вместе с их разнообразными следствиями — и составляют евклидову геометрию. (Примеч. перев.)
20
Васу — группа из восьми божеств в Махабхарате.
21
Свами — святой мудрец в Индии. (Примеч. перев.)
22
Шанкарачарья Шри Бхарати Кришна Тиртха (1884–1960) — выдающийся индийский философ, математик и религиозный деятель. (Примеч. перев.)
23
Количество формул, подлежащих запоминанию, возрастает весьма драматическим образом. Не будем считать умножение на 1 и на 10, а кроме того, учтем перестановочный закон для умножения. Тогда в «обычной» таблице умножения остается 36 формул для запоминания, а в таблице до 20 — уже 171 (или 153, если не считать умножение на 20). А таблица умножения до 30 содержит 351 формулу, не считая умножения на 1, 10, 20 и 30. (Примеч. перев.)
24
Шарлотта Мекленбург-Стрелицкая (1744–1818) — жена короля Георга III, бабушка королевы Виктории. (Примеч. перев.)
25
Миориори — полинезийская культура, существовавшая в Новой Зеландии до маори. (Примеч. перев.)
26
Буш Кейт (Kate Bush) — английская исполнительница, работающая на стыке поп-музыки и прогрессивного рока; песня «Pi» вошла в альбом «Aerial» (2005). В словах этой песни имеются такие строки:
(Примеч. nepeв.)
27
«Рациональный» от слова ratio — отношение. (Примеч. перев.)
28
Приведем буквальный перевод ввиду того, что фраза относительно осмысленна и касается чтения лекций студентам-физикам: «Как же я хочу выпить чего-нибудь алкогольного после тяжелой лекции, посвященной квантовой механике. Вся твоя геометрия, герр Планк, весьма сложна». Известна и русская фраза, выполняющая аналогичную функцию, хотя и для меньшего числа цифр: «Кто и шутя, и скоро пожелает пи узнать, число уж знает».
29
Имеется в виду стихотворение «Ворон» (1845).
30
περιφέρεια. (Примеч. перев.)
31
Математическая константа e — иррациональное число, начинающееся как 2,718281828, которое Грегори Чудновски называет «дважды Толстым», поскольку этот великий русский писатель родился в 1828 году.
32
Не будем забывать, что значительная часть Испании в течение столетий находилась под арабским владычеством. (Примеч. перев.)
33
Телесериал «X-files» в русском переводе получил название «Секретные материалы». (Примеч. перев.)
34
X-rays — общепринятое английское название рентгеновских лучей. (Примеч. перев.)
35
Малколм Икс (1935–1965) — американский борец за права темнокожих. Малколм Литл сменил фамилию на букву «Икс», символизирующую потерю знания о собственном происхождении. (Примеч. перев.)
36
де Ферма́ Пьер (1601–1665) — выдающийся французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Получил юридическое образование, с 1631 года занимал пост советника парламента в Тулузе. Ко всему прочему был блестящим полиглотом. (Примеч. ред.)
37
Может быть интересно оценить ошибку, связанную с ограничением тремя цифрами после запятой: 10>0,778 = 5,9979. Разумеется, дело не в идее логарифмов, а в выбранной точности; повышая точность, получаем, например, 10>0,7781512304 = 6,000000000225971… (Примеч. перев.)
38
Геллер Ури — иллюзионист, мистификатор, якобы обладающий паранормальными способностями. Стал известен благодаря сгибанию металлических ложек и остановке часов на башне Биг-Бен. (Примеч. перев.)
39
Гекат — древнеегипетская мера объема.
40
Перевод Е. Чевкиной.
41
Любое число больше единицы. В тексте речь идет, более специально, о целых положительных числах больше единицы. (Примеч. перев.)
42
Эйлер Леонард (1707–1783) почти полжизни провел в России, был академиком Российской академии наук. Внес огромный вклад в развитие российской науки. Умер в Петербурге. (Примеч. перев.)
43
Круг прикреплен в центре к картонному квадрату, относительно которого и рассматриваются вращения. (Примеч. перев.)
44
В течение 20 лет Г. Э. Дьюдени вел раздел математических развлечений в популярном ежемесячном журнале «Strand Magazine». (Примеч. перев.)
45
Прайс Винсент (1911–1993) — известный американский актер. (Примеч. перев)
46
В издательстве «КоЛибри» в серии «Galileo» вышла последняя книга Мартина Гарднера, сборник эссе «Когда ты была рыбкой, головастиком я…» (Примеч. ред.)
47
Кость Ишанго (эпоха верхнего палеолита) — берцовая кость бабуина, покрытая рядами насечек. Некоторые ученые полагают, что это примитивный лунный календарь. (Примеч. перев.)
48
Здесь используется соглашение 0>0 = 1, потому что если 0>0 = 0, то число схлопнется мгновенно. (Итак, 2>4 × 5>4 × 7>2 × 8>4 × 2>8 × 4>8 × 6>6 × 5>6 = 24547284284866560000000000. Таким образом, без соглашения 0>0 = 1 второго «неразрушаемого» числа нет. — Примеч. перев.)
49
См. http://oeis.org/play?seq=A005132. (Примеч. перев.)
50
Ее определение дается в приложении 4 на сайте, посвященном книге.
51
Надо продолжать складывать. Сумма одних лишь указанных чисел отличается от >1/>89 на 6,561797754461862… × 10>-10. Прибавление еще двух слагаемых, 0,00000000055 и 0,000000000089, приближает к >1/>89 уже на 1,7179774963738126… × 10>-11. (Примеч. перев.)
52
Итак, получается, что премоляр уже, чем центральный резец, в число раз, равное φ>3 = 4,236 — то есть более чем в четыре раза. (Примеч. перев.)
53
Многозначное слово, означающее случай, случайность, судьбу, риск, опасность, а еще — игру в кости и удачу в игре (фр.). (Примеч. ред.)
54
Имеется в виду так называемый «Мемориал, или Амулет Паскаля» (Примеч. перев.)
55
Янсенизм — религиозное движение внутри католицизма, подчеркивающее греховную природу человека и необходимость божественной благодати. Основатель — Корнелий Янсений (1585–1638). (Примеч. перев.)
56
Roulette (фр.) — маленькое колесо. (Примеч. перев.)
57
Slot (англ) — щель для приемы монет в автомате. (Примеч. перев.)
58
В заявке на каждый матч указаны 23 игрока, и на поле даже могут выйти 14 (ранее 1994 года — как правило, 13) человек из каждой команды. (Примеч. перев.)
59
В марте 2011 года житель штата Нью-Йорк выиграл в лотерею «Мега-Миллионс» рекордный джекпот в размере 319 миллионов долларов. За всю историю лотереи это самая большая сумма, которая будет выплачена по одному выигрышному билету. (Примеч. перев.)
60
В России распространено название «диаграммы Эйлера — Венна». (Примеч. перев.)
61
См. главу 4. (Примеч. перев.)
62
Рецепт успешной игры в казино? Конечно нет, ведь при долгой игре или достаточно большом числе играющих этот случай с вероятностью 1:47 реализуется — а из-за последовательных удвоений проигрыш окажется большим! (Примеч. перев.)
63
Хедж-фонд — частный, не ограниченный нормативным регулированием либо подверженный более слабому регулированию инвестиционный фонд, недоступный широкому кругу лиц и управляемый профессиональным менеджером. Отличается особой структурой вознаграждения за управление активами. Главная цель — приумножение средств инвесторов. Хедж-фонды обладают широкими возможностями в выборе инструментов вложения денег. Им доступно все, включая короткие позиции, фьючерсы, опционы и прочие деривативы. (Примеч. ред.)
64
Квинканкс — доска Гальтона. (Примеч. перев.)
65
При достаточно большом числе шариков. (Примеч. перев.)
66
KPMG — одна из крупнейших аудиторских компаний мира. (Примеч. перев.)
67
Госсет У. С. (1876–1937) более известен под псевдонимом Стьюдент («распределение Стьюдента», «критерий Стьюдента» в статистике). Госсет взял себе псевдоним, чтобы иметь возможность публиковаться, используя в своих работах данные, полученные им на заводе Гиннесса и составлявшие коммерческую тайну. (Примеч. перев.)
68
Талеб Н. Н. Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости. Москва: КоЛибри. 2012.
69
А, В, С и D — проходные оценки, F («failure» — провал, неудача) — аналог отечественной двойки. (Примеч. перев.)
70
И по мнению многих — величайший математик из когда-либо живших. (Примеч. перев.)
71
Можно было бы подумать, что линии постоянной широты параллельны экватору. Это не так, потому что линии широты (за исключением экватора) — это не прямые линии, а лишь прямые линии могут быть параллельны друг другу. Прямая — это кратчайшее расстояние между двумя точками; вот почему самолет, летящий из Нью-Йорка в Мадрид — при том, что эти две точки находятся на одной широте, — не летит по линии постоянной широты, а выбирает траекторию, которая на двумерной карте выглядит искривленной. (Примеч. авт.)
72
В применении «диагонального метода» имеются тонкости, связанные с тем, что одно и то же число можно записать двумя способами, как это обсуждалось в гл. 3, где мы видели, что 0,9999… = 1. Но связанные с этим сложности преодолимы, и диагональный метод действительно работает во всей строгости. (Примеч. перев.)
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Для этой книги Алекс Беллос собрал 125 головоломок, созданных за прошедших два тысячелетия, вместе с историями об их происхождении и влиянии. Он выбрал самые захватывающие, увлекательные и стимулирующие работу мысли задачи. Эти головоломки можно считать математическими только в самом широком смысле: их решение требует логического мышления, но не требует глубоких знаний математики. Все эти задачи происходят из Китая, средневековой Европы, викторианской Англии и современной Японии, а также из других времен и мест. Это книга для тех, кто интересуется математикой и логикой и любит разгадывать головоломки. На русском языке публикуется впервые.
Петр Ильинский, уроженец С.-Петербурга, выпускник МГУ, много лет работал в Гарвардском университете, в настоящее время живет в Бостоне. Автор многочисленных научных статей, патентов, трех книг и нескольких десятков эссе на культурные, политические и исторические темы в печатной и интернет-прессе США, Европы и России. «Легенда о Вавилоне» — книга не только о более чем двухтысячелетней истории Вавилона и породившей его месопотамской цивилизации, но главным образом об отражении этой истории в библейских текстах и культурных образах, присущих как прошлому, так и настоящему.
Научно-популярный журнал «Открытия и гипотезы» представляет свежий взгляд на самые главные загадки вселенной и человечества, его проблемы и открытия. Никогда еще наука не была такой интересной. Представлены теоретические и практические материалы.
«Что такое на тех отдаленных светилах? Имеются ли достаточные основания предполагать, что и другие миры населены подобно нашему, и если жизнь есть на тех небесных землях, как на нашей подлунной, то похожа ли она на нашу жизнь? Одним словом, обитаемы ли другие миры, и, если обитаемы, жители их похожи ли на нас?».
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
Взыскание Святого Грааля, — именно так, красиво и архаично, называют неповторимое явление средневековой духовной культуры Европы, породившее шедевры рыцарских романов и поэм о многовековых поисках чудесной лучезарной чаши, в которую, по преданию, ангелы собрали кровь, истекшую из ран Христа во время крестных мук на Голгофе. В некоторых преданиях Грааль — это ниспавший с неба волшебный камень… Рыцари Грааля ещё в старых текстах именуются храмовниками, тамплиерами. История этого католического ордена, основанного во времена Крестовых походов и уничтоженного в начале XIV века, овеяна легендами.
В занимательной и доступной форме автор вводит читателя в удивительный мир микробиологии. Вы узнаете об истории открытия микроорганизмов и их жизнедеятельности. О том, что известно современной науке о морфологии, методах обнаружения, культивирования и хранения микробов, об их роли в поддержании жизни на нашей планете. О перспективах разработок новых технологий, применение которых может сыграть важную роль в решении многих глобальных проблем, стоящих перед человечеством.Книга предназначена широкому кругу читателей, всем, кто интересуется вопросами современной микробиологии и биотехнологии.
Знания всегда давались человечеству нелегко. В истории науки было все — драматические, а порой и трагические эпизоды соседствуют со смешными, забавными моментами. Да и среди ученых мы видим самые разные характеры. Добрые и злые, коварные и бескорыстные, завистливые и честолюбивые, гении и талантливые дилетанты, они все внесли свой вклад в познание мира, в котором мы живем.Уолтер Гратцер рассказывает о великих открытиях и людях науки честно и объективно, но при этом ясно: он очень любит своих героев и пишет о них с большой симпатией.
Людям свойственно спокойно принимать тот факт, что зачастую они ведут себя как животные, они даже порой гордятся, что способны на «подлинную страсть». Но люди всегда страшно удивляются, что животным часто оказываются свойственны привычки, считающиеся чисто человеческими, — от шумных пирушек (с последующим неизбежным похмельем) до конфликтов «отцов и детей», от гомосексуализма до мафии. Английский писатель и биолог Огастес Браун пишет об этом с чисто английским юмором и тонкой наблюдательностью.
Артур Миллер, известный американский историк науки (сейчас живет в Лондоне), повествует о выдающихся открытиях астрофизиков XX века. В центре рассказа — судьба индийского физика, лауреата Нобелевской премии Субрахманьяна Чандрасекара, чьи теории во многом сформировали наши сегодняшние представления о Вселенной. Книга Миллера — об эволюции звезд, о белых карликах, красных гигантах, нейтронных звездах и о самых таинственных космических объектах — черных дырах, жадно пожирающих материю и энергию.
Сегодня мы уже не можем себе представить жизнь без компьютеров и Интернета. Каждый день возникают все новые и новые гаджеты, которые во многом определяют наше существование — нашу работу, отдых, общение с друзьями. Меняются наши реакции, образ мышления. Известный американский психиатр, профессор Лос-Анджелесского университета и директор Научного центра по проблемам старения Гэри Смолл вместе со своим соавтором (и женой) Гиги Ворган утверждают: мы наблюдаем настоящий эволюционный скачок, и произошел он всего за пару-тройку десятилетий!В этой непростой ситуации, говорят авторы, перед всем человечеством встает трудная задача: остаться людьми, не превратившись в придаток компьютера, и не разучиться сопереживать, общаться, любить…