Знак вопроса, 1997 № 02 - [80]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Можно ли ждать от парадоксов практической пользы? Таким вопросом часто задаются, но еще чаще оставляют его открытым. Многие родители мучились, пытаясь переделать своё «решение с иксом» в арифметическое решение для ребенка. Именно парадоксальные понятия являются главной причиной поразительной эффективности математики. Введение отрицательных и мнимых чисел показывает, что парадоксы разрешаются путем обобщения операций и правил, а не путем ограничений и запретов. Впрочем, в Древней Греции существовал даже запрет на использование дробей. Платон писал: «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать». Но греческие купцы и строители использовали дроби, ведь без них нельзя ни торговать, ни строить. Сейчас примирились с простыми дробями, научившись представлять их в чистой математике в виде упорядоченных пар.

«Понять можно лишь то, что в состоянии вместить наше сознание, то, что в нем уже присутствует в виде некоей матрицы. Иными словами, принять что бы то ни было можно лишь при наличии соответствующего хватательного органа», — писал Г. Майринк в романе «Ангел Западного окна». Академик Б. В. Раушенбах подчеркивал наличие общей идеи, лежащей в основе различных проявлений триединства, и показал, что такой математической моделью является вектор. Поэтому привычная скептическая критика понятия триединости ошибочна: «Критика всегда избирала своей мишенью эту кажущуюся несообразность самого понятия триединства, безотносительно к тому, относится оно к Троице или к чему-либо другому». Таковы три грамматических лица (я, ты, он), три времени (прошедшее, настоящее, будущее) и троекратное повторение обрядов. «Не вдаваясь в эти сложные и тонкие вопросы, мы скажем только, что число т р и, в нашем разуме характеризующее безусловность Божества, свойственно всему тому, что обладает относительной самозаключенностью», — писал о. Павел Флоренский. Примечательно также его замечание в книге «Иконостас» о том, что световая глубь неба, светоносность сверхчувственного может быть передана в иконах только блеском золота.

«Куда мне девать все эти подарки, которыми летнее утро награждает меня и только меня? Отложить для будущих книг? Употребить немедленно для составления руководства: «Как быть счастливым»? Или глубже, дотошнее: понять, что скрывается за всем этим, за игрой, за блеском? А что-то ведь есть, что-то есть», — так писал В. В. Набоков в романе «Дар».

ПРИЛОЖЕНИЕ ЛОГИЧЕСКАЯ ИГРА Л. КЭРРОЛЛА НА КОМПЬЮТЕРЕ

«Методы эти позволят вам обрести ясность мысли, способность находить собственное решение трудных задач, выработают у вас привычку к систематическому мышлению…»

Льюис Кэрролл. Символическая логика.

Исторически первой дедуктивной теорией была силлогистика, которую построил основатель логики древнегреческий философ Аристотель. Даже аксиоматическая система геометрии была создана позже Евклидом в ее духе. Силлогистика является наиболее доступным средством приобщения учащихся к логике благодаря ее простоте, элегантности и близости к естественному языку.

Приведем основные определения по «Учебнику логики» Г. И. Челпанова, который был отмечен премией Петра Великого и выдержал девять дореволюционных изданий. Умозаключением называется выведение нового суждения из нескольких данных суждений, называемых посылками. Выводимое суждение называется заключением. «Силлогизм есть такая форма умозаключения, в которой из двух суждений необходимо вытекает третье.»

Посылки и заключение силлогизма представляют собой суждения. К ним относятся следующие суждения:

1. «Все х суть Z» — общеутвердительное суждение.

2. «Ни один хне есть z» — общеотрицательное суждение.

3. «Некоторые х суть z» — частноутвердительное суждение.

4. «Некоторые х не есть z» — частноотрицательное суждение.

Например, суждение «Все ученые смертны» является общеутвердительным, а суждение «Некоторые ученые смертны» является частноутвердительным. При арифметизации будем кодировать утверждение числом +1, отрицание числом —1. В дальнейшем часто будем просто ставить «+» и «—". Отсутствие информации будем обозначать числом 0.

Частноутвердительному суждению соответствует положительный вектор, а общеотрицательному суждению — отрицательный вектор. Если обозначить: мученые, у = люди, z = смертные, то вектор (+ 0 +) будет обозначать частноутвердительное суждение «Некоторые ученые смертны» = «Некоторые х суть z», а вектор — (+ 0 —) — общеотрицательное суждение «Ни один ученый не бессмертен» = «Ни один х не есть не — z». Эти два вектора дают общеутвердительное суждение «Все ученые смертны» = «Все х суть z».

Получение логического заключения сводится к исключению термина-посредника «у» (среднего термина силлогизма). Приведем пример силлогизма, который состоит из общеутвердительных суждений:

«Все люди смертны»

«Все ученые — люди»

«Все ученые смертны»

В векторных обозначениях приведенный выше силлогизм может быть записан в следующем виде:

При решении проблемы разрешимости силлогизмов решающую роль играет принцип аннигиляции. Заключение следует из данных посылок при условии ровно одной аннигиляции