Живой учебник геометрии - [11]

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и.

Применения

13. Чтобы определить расстояние от А до В через озеро (черт. 68), выбирают такую точку С, из которой видны обе точки А и В. На продолжении прямой АС отмеривают от точки С длину АС, а на продолжении линии ВС отмеривают от С длину ВС; получают точки Е и DРасстояние между ними равно искомому расстоянию АВ. Почему?

Р е ш е н и е. Треугольники ACBи DCEравны по двум сторонам (А С = СЕ; ВС = CD) и углу между ними (уг. АСВ = = уг. DCE, как противоположные). Значит стороны и Е и А В равны, как лежащие в равных треугольниках против равных углов.

§ 21. Как разделить отрезок пополам

Зная; что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, мы можем помощью циркуля и линейки делить данный отрезок на две равные части.

Если, например, требуется разделить пополам отрезок А В (черт. 69), то помещают острие циркуля в точки А я В и описывают вокруг них, как около центров, одинаковым радиусом две пересекающиеся дуги (черт. 70). Точки их пересечения С и Dсоединяют прямою, которая и АВ пополам: АО = ОВ.

Чтобы убедиться, что отрезки АО и ОВ должны быть равны, соединим точки C и Dс концами А и В отрезка (черт. 71). Получатся два треугольника ACDи BCD, у которых три стороны соответственно равны: АС = ВС; AD= BD; CD – общая, т. е. принадлежит обоим треугольникам. Отсюда вытекает полное равенство указанных треугольников, а следовательно и равенство всех углов. Значит, между прочим, равны углы ACDи BCD. Сравнивая теперь треугольники АСО и ВСО, видим, что у них сторона ОС – общая, AC= СB, а угол между ними АСО = уг. ВСО. По двум сторонам и углу между ними треугольники равны; следовательно, равны стороны АО и ОВ, т. е. точка О есть середина отрезка АВ.

§ 22. Как построить треугольник по стороне и двум углам

Рассмотрим, наконец, задачу, решение которой приводит к построению треугольника по стороне и двум углам:

На другом берегу реки (черт. 72) видна веха A. Требуется, не переправляясь через реку, узнать расстояние до нее от вехи В на этом берегу.

Поступим так. Отмерим от точки В по прямой линии какое-нибудь расстояние ВС и у концов его В и С измерим углы 1 и 2 (черт. 73). Если теперь на удобной местности отмерить расстояние DE, равное ВС, и построить у его концов углы а и b(черт. 74), равные углам 1 и 2, то в точке пересечения их сторон получим третью вершину Fтреугольника DEF. Легко убедиться, что треугольник DEFравен треугольнику АВС; действительно, если представим себе, что треугольник DEFналожен на ABCтак, что сторона DEсовпала с равной ей стороною ВС, то уг. а совпадет с углом 1, угол b – с углом 2, и сторона DFпойдет по стороне ВA, а сторона EFпо стороне СА. Так как две прямые могут пересечься только в одной точке, то и вершина Fдолжна совпасть с вершиной A. Значит, расстояние DFравно искомому расстоянию ВА.

Задача, как видим, имеет т о л ь к о о д н о решение. Вообще по стороне и двум углам, прилегающим к этой стороне, можно построить т о л ь к о о д и н треугольник; других треугольников с такою же стороною и такими же двумя углами, прилегающими к ней в тех же местах, быть не может. Все треугольники, имеющие по одной одинаковой стороне и по два одинаковых угла, прилегающих к ней в тех же местах, могут быть наложением приведены в полное совпадение. Значит, это признак, по которому можно установить полное равенство треугольников.

Вместе с прежде установленными признаками равенства треугольников, мы знаем теперь следующие три:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы:

п о т р е м с т о р о н а м;

п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и;

п о с т о р о н е и д в у м у г л а м.

Эти три случая равенства треугольников мы будем в дальнейшем обозначать ради краткости так:

по трем сторонам: ССС;

по двум сторонам и углу между ними: СУС;

по стороне и двум углам: УСУ.

Применения

14. Чтобы узнать расстояние до точки Aна другом берегу реки от точки В на этом берегу (черт. 5), отмеряют по прямой линии какую-нибудь линию ВС, затем при точке В строят угол, равный AВС, по другую сторону ВС, а при точке С – таким же образом угол, равный АСВ. Расстояние точки Dпересечения сторон обеих сторон углов до точки В равно искомому расстоянию АВ. Почему?

Р е ш е н и е. Треугольники ABCи ВDС равны по одной стороне (ВС) и двум углам (уг. DCB= уг. АСВ; уг. DBC= уг. ABC.) Следовательно, АВ = ВD, как стороны, лежащие в равных треугольниках против равных углов.

§ 23. Параллелограммы

От треугольников перейдем к четырехугольникам, т. е. к фигурам, ограниченным 4-мя сторонами. Примером четырехугольника может служить к в а д р а т – такой четырехугольник, все стороны которого равны, а все углы-прямые (черт. 76). Другой вид четырехугольника, тоже часто встречающийся, – п р я м о у г о л ь н и к:

так называется всякий четырехугольник с 4-мя прямыми углами (черт. 77 и 78). Квадрат – тоже прямоугольник, но с равными сторонами.

Особенность прямоугольника (и квадрата) та, что обе пары его противоположных сторон п а р а л л е л ь н ы. В прямоугольнике ABCD, например (черт. 78), АВ параллельно